Diario delle lezioni 2025

Slides (Avvertenza: dopo ciascuna lezione il file aggiornato sostituisce il precedente)

Presentazione del corso (con elenco di libri consigliati)

Equazioni differenziali lineari

Spazi metrici

Funzioni tra spazi euclidei: limiti e continuità

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

Calcolo integrale per funzioni di più variabili

Integrali curvilinei e di superficie

Ottimizzazione libera e vincolata

Descrizione sintetica degli argomenti trattati a lezione e appunti (Avvertenza: gli "appunti" vengono condivisi così come scritti durante la lezione)

4 marzo: Presentazione del corso. Terminologia. Equazioni differenziali lineari di ordine 1; terminologia. Problemi di Cauchy associati. Determinazione dell'integrale generale. Esempi. (appunti)

6 marzo: Equazioni differenziali lineari di ordine 2; terminologia. Problemi di Cauchy associati. Teorema di esistenza e unicità. Principio di sovrapposizione. Struttura dell'integrale generale. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico. Soluzioni costruite a partire da radici del polinomio caratteristico. Cenni sulla derivabilità di funzioni complesse; soluzioni complesse. (appunti)

7 marzo: Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. Esempi. Discussione di una equazione di ordine 2 dipendente da parametri. (appunti)

11 marzo: Metodo di somiglianza per la determinazione di soluzioni particolari di equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti. Esempi. Discussione di una equazione di ordine 2 dipendente da parametri. (appunti)

13 marzo: Metrica in un insieme, spazio metrico. Esempi: metrica discreta; metrica del valore assoluto; metrica euclidea, del reticolo, del massimo. Intorno sferico. Punto interno; esterno, di frontiera, di accumulazione; interiore, frontiera, derivato, chiusura. Insieme aperto, insieme chiuso. (appunti)

14 marzo: Operazioni insiemistiche con insiemi aperti e con insiemi chiusi. Proprietà topologiche degli intorni sferici. Insiemi limitati. Sottospazi metrici. Successioni convergenti. (appunti)

18 marzo: Proprietà di separazione; unicità del limite. Limitatezza e convergenza di successioni in Rⁿin termini delle successioni componenti. Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rⁿ. Successioni di Cauchy; proprietà. Spazi metrici completi. Esempi di spazi metrici non completi. Completezza dello spazio metrico euclideo. Insiemi (sequenzialmente) compatti. (appunti)

20 marzo: Caratterizzazione sequenziale degli insiemi chiusi; sottoinsiemi chiusi di spazi metrici completi o compatti. Legame tra compattezza, completezza, chiusura e limitatezza. Teorema di Heine-Borel. Spazi metrici connessi. Proprietà di connessione nello spazio metrico euclideo: segmenti e poligonali; insiemi convessi, stellati, connessi per poligonali. (appunti)

21 marzo: Studio delle proprietà topologiche di alcuni sottoinsiemi di R²e di R³. Funzioni continue tra spazi metrici. Continuità della distanza da un punto fissato. Teoremi di Weierstrass, di Cantor e dei valori intermedi. (appunti)

25 marzo: Spazi normati; metrica indotta. Spazi pre-hilbertiani; norma indotta; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Generalità sulle funzioni tra spazi euclidei. Operazioni algebriche con funzioni vettoriali. Limiti per funzioni (reali e vettoriali) di una o più variabili reali. Banalità del limite delle funzioni vettoriali. Esempi. Limiti all'infinito. (appunti)

27 marzo: Funzioni divergenti in norma. Esempi. Estensione ai limiti per funzioni tra spazi euclidei di alcune proprietà dei limiti di funzioni reali di variabile reale. Funzioni continue tra spazi euclidei; esempi. Banalità della continuità delle funzioni vettoriali; regole algebriche per funzioni continue. Caratterizzazione della continuità mediante i limiti. Limiti "significativi" per una funzione continua nel suo dominio. (appunti)

28 marzo: Strategia per il calcolo del limite di funzioni di più variabili. Esempi di calcolo dei limiti per funzioni di due variabili. (appunti)

1 aprile: Esempi di calcolo dei limiti e studio della continuità per funzioni di due variabili; utilizzo delle coordinate polari. Curve in Rⁿ; sostegno e parametrizzazione. (appunti)

3 aprile: Curve chiuse, semplici, piane. Esempi. Curva grafico. Superfici in R³; sostegno e parametrizzazione. Superficie grafico. (appunti)

4 aprile: Esempi di superfici grafico. Coordinate cilindriche e coordinate sferiche; superficie cilindrica e superficie sferica. Derivate direzionali. Esempi. (appunti)

8 aprile: Derivate parziali. Esempi. Gradiente. Esempio di funzione non continua derivabile in ogni direzione. Funzioni differenziabili; differenziale. Esempi. (appunti)

10 aprile: Continuità e derivabilità direzionale delle funzioni differenziabili. Formula del gradiente. Interpretazione geometrica del gradiente. Teorema del differenziale totale. (appunti)

11 aprile: Esempi di studio della differenziabilità e di applicazione della regola del gradiente. Linearizzazione e piano tangente. Derivate e differenziale di funzioni vettoriali. Matrice jacobiana. (appunti)

15 aprile: Regole di calcolo per le derivate parziali. Differenziale di funzioni composte. Derivate parziali successive. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Teorema del valor medio. Caratterizzazione delle funzioni a gradiente nullo. (appunti)

17 aprile: Formula di Taylor di ordine 2 con il resto di Peano. Curve regolari e regolari a tratti; retta tangente e versore tangente. Esempi. (appunti)

29 aprile: Esempi di curve regolari (a tratti). Curva grafico. Domini regolari in R². Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Esempi. (appunti)

30 aprile: Superfici orientabili. Superfici regolari con bordo. Superfici grafico. Superfici regolari a pezzi, superfici chiuse; esempi. Domini regolari in R³. Esempi. (appunti nastro di Möbius)

6 maggio: Sottoinsiemi normali di R². Esempi. Suddivisioni in insiemi normali; suddivisione uniforme; suddivisione generata da due suddivisioni. Somme integrali inferiori e superiori. Funzioni integrabili; integrale doppio. Sottoinsiemi normali di R³. Funzioni integrabili; integrale triplo. (appunti)

13 maggio: Integrabilità delle funzioni continue; rappresentazione dell’integrale come limite. Proprietà di linearità, monotonia, additività. Formule di riduzione per integrali doppi. Esempi. Formule di integrazione per fili e per strati per integrali tripli. Esempi. (appunti)

20 maggio: Volume dei solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Calcolo di integrali mediante coordinate polari nel piano. Applicazione delle coordinate polari al calcolo di un integrale improprio. (appunti ho corretto una svista nel punto evidenziato in giallo)

22 maggio: Coordinate ellittiche nel piano. Coordinate polari nello spazio. Cambiamenti di variabili "ad hoc". Integrale curvilineo di un campo scalare. (appunti)

23 maggio: Cambiamenti di parametro; curve equivalenti. Invarianza dell'integrale curvilineo di un campo scalare per riparametrizzazioni equivalenti. Lunghezza di una curva. (appunti)

27 maggio: Integrale curvilineo di un campo vettoriale. Invarianza per riparametrizzazioni equivalenti che preservano l'orientazione. Relazione tra le due nozioni di integrali curvilinei. Campi vettoriali conservativi; potenziali.Formula fondamentale del calcolo integrale per campi vettoriali conservativi. Caratterizzazioni dei campi vettoriali conservativi. Criteri per stabilire che un campo vettoriale non è conservativo. (appunti)

29 maggio: Campi vettoriali chiusi. Teorema di Poincaré. Esempi. Integrale di superficie di un campo scalare. Cambiamenti di parametro; superfici equivalenti. Invarianza per riparametrizzazioni equivalenti. (appunti)

30 maggio: Area di una superficie. Interpretazione geometrica dell'integrale curvilineo di campi scalari. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Rotore di un campo vettoriale in R³. Teorema di Stokes. (appunti rotore)

3 giugno (mattina e pomeriggio): Alcune proprietà dei campi vettoriali "di tipo rotore". Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in tre e due dimensioni. Teorema di Gauss-Green. Formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare. Insiemi semplicemente connessi; estensione del teorema di Poincaré. Punti di estremo locale. Teorema di Fermat. Punti stazionari; punti di sella. Classificazione dei punti stazionari mediante il segno degli autovalori della matrice hessiana. (appunti)

4 giugno (pomeriggio): Strategie per trattare il caso di matrice hessiana con autovalore nullo. Esempi sulla ricerca di estremi locali e globali. Introduzione alla ricerca di estremi vincolati. (appunti)

5 giugno: Vincoli di uguaglianza in R²; estremi vincolati. Vincoli con parametrizzazione nota. Teorema della funzione implicita in R². Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R². (appunti)

6 giugno: Vincoli bidimensionali e unidimensionali in R³. Teorema della funzione implicita n R³per funzioni scalari e per funzioni vettoriali. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R³. (appunti esempi dal testo di E. Giusti)

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Presentazione del corso (con elenco di libri consigliati)

Equazioni differenziali lineari

Spazi metrici

Funzioni tra spazi euclidei: limiti e continuità

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

Calcolo integrale per funzioni di più variabili

Integrali curvilinei e di superficie

Ottimizzazione libera e vincolata

Descrizione sintetica degli argomenti trattati a lezione e appunti (Avvertenza: gli "appunti" vengono condivisi così come scritti durante la lezione)

4 marzo: Presentazione del corso. Terminologia. Equazioni differenziali lineari di ordine 1; terminologia. Problemi di Cauchy associati. Determinazione dell'integrale generale. Esempi. (appunti)

7 marzo: Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. Esempi. Discussione di una equazione di ordine 2 dipendente da parametri. (appunti)

11 marzo: Metodo di somiglianza per la determinazione di soluzioni particolari di equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti. Esempi. Discussione di una equazione di ordine 2 dipendente da parametri. (appunti)

14 marzo: Operazioni insiemistiche con insiemi aperti e con insiemi chiusi. Proprietà topologiche degli intorni sferici. Insiemi limitati. Sottospazi metrici. Successioni convergenti. (appunti)

21 marzo: Studio delle proprietà topologiche di alcuni sottoinsiemi di R2 e di R3. Funzioni continue tra spazi metrici. Continuità della distanza da un punto fissato. Teoremi di Weierstrass, di Cantor e dei valori intermedi. (appunti)

28 marzo: Strategia per il calcolo del limite di funzioni di più variabili. Esempi di calcolo dei limiti per funzioni di due variabili. (appunti)

1 aprile: Esempi di calcolo dei limiti e studio della continuità per funzioni di due variabili; utilizzo delle coordinate polari. Curve in Rn; sostegno e parametrizzazione. (appunti)

3 aprile: Curve chiuse, semplici, piane. Esempi. Curva grafico. Superfici in R3; sostegno e parametrizzazione. Superficie grafico. (appunti)

4 aprile: Esempi di superfici grafico. Coordinate cilindriche e coordinate sferiche; superficie cilindrica e superficie sferica. Derivate direzionali. Esempi. (appunti)

8 aprile: Derivate parziali. Esempi. Gradiente. Esempio di funzione non continua derivabile in ogni direzione. Funzioni differenziabili; differenziale. Esempi. (appunti)

10 aprile: Continuità e derivabilità direzionale delle funzioni differenziabili. Formula del gradiente. Interpretazione geometrica del gradiente. Teorema del differenziale totale. (appunti)

11 aprile: Esempi di studio della differenziabilità e di applicazione della regola del gradiente. Linearizzazione e piano tangente. Derivate e differenziale di funzioni vettoriali. Matrice jacobiana. (appunti)

15 aprile: Regole di calcolo per le derivate parziali. Differenziale di funzioni composte. Derivate parziali successive. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Teorema del valor medio. Caratterizzazione delle funzioni a gradiente nullo. (appunti)

17 aprile: Formula di Taylor di ordine 2 con il resto di Peano. Curve regolari e regolari a tratti; retta tangente e versore tangente. Esempi. (appunti)

29 aprile: Esempi di curve regolari (a tratti). Curva grafico. Domini regolari in R2. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Esempi. (appunti)

30 aprile: Superfici orientabili. Superfici regolari con bordo. Superfici grafico. Superfici regolari a pezzi, superfici chiuse; esempi. Domini regolari in R3. Esempi. (appunti nastro di Möbius)

13 maggio: Integrabilità delle funzioni continue; rappresentazione dell’integrale come limite. Proprietà di linearità, monotonia, additività. Formule di riduzione per integrali doppi. Esempi. Formule di integrazione per fili e per strati per integrali tripli. Esempi. (appunti)

20 maggio: Volume dei solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Calcolo di integrali mediante coordinate polari nel piano. Applicazione delle coordinate polari al calcolo di un integrale improprio. (appunti ho corretto una svista nel punto evidenziato in giallo)

22 maggio: Coordinate ellittiche nel piano. Coordinate polari nello spazio. Cambiamenti di variabili "ad hoc". Integrale curvilineo di un campo scalare. (appunti)

23 maggio: Cambiamenti di parametro; curve equivalenti. Invarianza dell'integrale curvilineo di un campo scalare per riparametrizzazioni equivalenti. Lunghezza di una curva. (appunti)

29 maggio: Campi vettoriali chiusi. Teorema di Poincaré. Esempi. Integrale di superficie di un campo scalare. Cambiamenti di parametro; superfici equivalenti. Invarianza per riparametrizzazioni equivalenti. (appunti)

30 maggio: Area di una superficie. Interpretazione geometrica dell'integrale curvilineo di campi scalari. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Rotore di un campo vettoriale in R3. Teorema di Stokes. (appunti rotore)

4 giugno (pomeriggio): Strategie per trattare il caso di matrice hessiana con autovalore nullo. Esempi sulla ricerca di estremi locali e globali. Introduzione alla ricerca di estremi vincolati. (appunti)

5 giugno: Vincoli di uguaglianza in R2; estremi vincolati. Vincoli con parametrizzazione nota. Teorema della funzione implicita in R2. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R2. (appunti)

6 giugno: Vincoli bidimensionali e unidimensionali in R3. Teorema della funzione implicita n R3 per funzioni scalari e per funzioni vettoriali. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R3. (appunti esempi dal testo di E. Giusti)

21 marzo: Studio delle proprietà topologiche di alcuni sottoinsiemi di R²e di R³. Funzioni continue tra spazi metrici. Continuità della distanza da un punto fissato. Teoremi di Weierstrass, di Cantor e dei valori intermedi. (appunti)

1 aprile: Esempi di calcolo dei limiti e studio della continuità per funzioni di due variabili; utilizzo delle coordinate polari. Curve in Rⁿ; sostegno e parametrizzazione. (appunti)

3 aprile: Curve chiuse, semplici, piane. Esempi. Curva grafico. Superfici in R³; sostegno e parametrizzazione. Superficie grafico. (appunti)

29 aprile: Esempi di curve regolari (a tratti). Curva grafico. Domini regolari in R². Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Esempi. (appunti)

30 aprile: Superfici orientabili. Superfici regolari con bordo. Superfici grafico. Superfici regolari a pezzi, superfici chiuse; esempi. Domini regolari in R³. Esempi. (appunti nastro di Möbius)

30 maggio: Area di una superficie. Interpretazione geometrica dell'integrale curvilineo di campi scalari. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Rotore di un campo vettoriale in R³. Teorema di Stokes. (appunti rotore)

5 giugno: Vincoli di uguaglianza in R²; estremi vincolati. Vincoli con parametrizzazione nota. Teorema della funzione implicita in R². Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R². (appunti)

6 giugno: Vincoli bidimensionali e unidimensionali in R³. Teorema della funzione implicita n R³per funzioni scalari e per funzioni vettoriali. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R³. (appunti esempi dal testo di E. Giusti)