Diario delle lezioni 2024
Slides (Avvertenza: dopo ciascuna lezione il file aggiornato sostituisce il precedente)
Presentazione del corso (con elenco di libri consigliati)
Equazioni differenziali lineari
Funzioni tra spazi vettoriali euclidei (30 maggio: aggiunta una annotazione a pagina 25)
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Calcolo integrale per funzioni di più variabili
Calcolo integrale su curve e superfici
Descrizione sintetica degli argomenti trattati a lezione e appunti (Avvertenza: gli "appunti" vengono condivisi così come scritti durante la lezione)
5 marzo: Presentazione del corso. Terminologia delle equazioni differenziali lineari. Problema di Cauchy. Globalità e regolarità delle soluzioni. Esistenza e unicità globale per problemi di Cauchy. Operatore associato a una equazione differenziale lineare. Principio di sovrapposizione. (appunti)
7 marzo: Struttura dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare. Strategia per la determinazione dell'integrale generale. Matrice wronskiana e determinante wronskiano. Caratterizzazione di un sistema fondamentale di soluzioni. (appunti)
8 marzo: Dimostrazione della caratterizzazione di un sistema fondamentale di soluzioni. Risoluzione di una equazione differenziale omogenea del primo ordine; esempi di risoluzione di equazioni omogenee del primo ordine e problemi di Cauchy associati. Equazioni differenziali omogenee a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Soluzioni costruite a partire da radici del polinomio caratteristico. Cenni sulla derivabilità di funzioni complesse; soluzioni complesse. (appunti)
12 marzo: Soluzioni complesse e loro sostituzione con soluzioni reali. Determinazione dell'integrale generale in presenza di radici del polinomio caratteristico di molteplicità 1. Esempi. (appunti)
14 marzo: Determinazione di soluzioni in presenza di radici multiple del polinomio caratteristico. Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti nel caso generale. Esempi. Discussione di una equazione di ordine 2 dipendente da parametri. (appunti)
15 marzo: Metodo di somiglianza per la determinazione di soluzioni particolari di equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti. Esempi. Discussione di una equazione di ordine 2 dipendente da parametri. (appunti)
19 marzo: Metodo di variazione delle costanti per la determinazione di soluzioni particolari di equazioni lineari non omogenee. (appunti)
21 marzo: Esempi di applicazione del metodo di variazione delle costanti. Equazioni di Eulero. Esempi. (appunti)
22 marzo: Ulteriori esempi di equazioni di Eulero. Richiami su Rn: struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare standard, norma euclidea; prodotto vettoriale in R3. Intorni sferici. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione; interno, frontiera, derivato, chiusura di un insieme. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Operazioni insiemistiche con insiemi aperti e con insiemi chiusi. (appunti)
26 marzo: Esempi sulla determinazione della frontiera. Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi convessi, stellati, connessi per poligonali. (appunti)
28 marzo: Successioni convergenti. Alcune proprietà; operazioni algebriche. Teorema di Bolzano-Weierstrass in Rn. Teorema di Heine-Borel; insiemi sequenzialmente compatti. Generalità sulle funzioni tra spazi euclidei di dimensioni finita. Operazioni algebriche con funzioni vettoriali. Funzioni continue. Esempi. (appunti)
4 aprile: Banalità della continuità delle funzioni vettoriali. Continuità e operazioni algebriche. Continuità e composizione funzionale. Teorema di Weierstrass, di Cantor, dei valori intermedi. Curve in Rn; sostegno e parametrizzazione. Esempi. Curve chiuse, semplici, piane. (appunti)
9 aprile: Curva grafico. Coordinate polari nel piano e nello spazio, coordinate cilindriche. Superfici in R3; sostegno e parametrizzazione. Esempi. Superficie grafico. (appunti) Nota: ho caricato il file geogebra nella cartella "file" del canale Teams dedicato al corso.
10 aprile: Limiti per funzioni (reali e vettoriali) di una o più variabili reali. Banalità del limite delle funzioni vettoriali. Esempi. Limiti all'infinito e funzioni divergenti in norma. Esempi. Caratterizzazione della continuità mediante i limiti. Limiti "significativi" per una funzione continua nel suo dominio. Strategia per il calcolo del limite di funzioni di più variabili. (appunti)
11 aprile: Esempi di calcolo dei limiti per funzioni di due variabili: utilizzo delle coordinate polari. (appunti file geogebra in Teams)
12 aprile: Esempi di calcolo dei limiti e studio della continuità per funzioni di due variabili. Derivate direzionali. Esempi. (appunti file geogebra in Teams)
16 aprile: Derivate parziali. Esempi. Gradiente. Esempio di funzione non continua derivabile in ogni direzione. Richiami sullo spazio duale di Rn. (appunti)
18 aprile: Funzioni differenziabili; differenziale. Esempi. Differenziale e derivate direzionali. Rappresentazione del differenziale nello spazio duale di Rn. Caratterizzazione della differenziabilità. Esempi di studio della differenziabilità in un punto. Formula del gradiente. (appunti)
19 aprile: Continuità delle funzioni differenziabili. Teorema del differenziale totale. Esempi di studio della differenziabilità in un punto. Linearizzazione e piano tangente. Derivate e differenziale di funzioni vettoriali. Matrice jacobiana. (appunti file geogebra in Teams)
30 aprile: Regole di calcolo per le derivate parziali. Differenziale di funzioni composte. Curve regolari e regolari a tratti; retta tangente e versore tangente. Esempi. (appunti)
2 maggio: Curva grafico. Domini regolari in R2. Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Superfici orientabili. Superfici regolari con bordo. Esempi. (appunti nastro di Möbius)
3 maggio: Osservazioni ed esempi su superfici regolari con bordo. Superfici grafico. Esempi. Superfici regolari a pezzi; superfici chiuse. Domini regolari in R3. Teorema del valor medio. Caratterizzazione delle funzioni a gradiente nullo. (appunti)
7 maggio: Derivate parziali successive. Matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor di ordine 2 con il resto di Peano. Punti di estremo locale. Teorema di Fermat. Punti stazionari; punti di sella. (appunti)
9 maggio: Matrici simmetriche definite positive, definite negative, indefinite. Classificazione dei punti stazionari mediante il segno degli autovalori della matrice hessiana. Esempi. (appunti)
10 maggio: Strategie per trattare il caso di matrice hessiana semidefinita ma non definita. Esempi sulla ricerca di estremi locali e globali. (appunti)
14 maggio: Ulteriori esempi sulla ricerca di estremi locali e globali. Introduzione alla ricerca di estremi vincolati. (appunti)
16 maggio: Vincoli con parametrizzazione nota. Teorema delle funzioni implicite in R2. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R2. (appunti)
17 maggio: Esempi sul teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R2. Teorema delle funzioni implicite per funzioni reali di tre variabili reali. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per vincoli bidimensionali in R3. Esempi. (appunti file geogebra in Teams)
21 maggio: Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per vincoli unidimensionali in R3. Esempi. Integrali per funzioni vettoriali di una variabile. Sottoinsiemi normali di R2. Esempi. (appunti un po' rimaneggiati)
23 maggio: Suddivisioni in insiemi normali; suddivisione uniforme; suddivisione generata da due suddivisioni. Somme integrali inferiori e superiori. Funzioni integrabili; integrale doppio. Sottoinsiemi normali di R3. Funzioni integrabili; integrale triplo. (appunti)
24 maggio: Integrabilità delle funzioni continue; rappresentazione dell’integrale come limite. Proprietà di linearità, monotonia, additività. Formule di riduzione per integrali doppi. Esempi. Formule di integrazione per fili per integrali tripli. Esempi. Formule di riduzione per strati per integrali tripli. Esempi. Volume dei solidi di rotazione. (appunti figura: integrazione per fili)
28 maggio: Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Calcolo di integrali mediante coordinate polari ed ellittiche nel piano. Applicazione delle coordinate polari al calcolo di un integrale improprio. Coordinate polari nello spazio. (appunti)
30 maggio: Coordinate polari nello spazio. Cambiamenti di parametro; curve equivalenti. Concatenamento di curve. Integrale curvilineo di un campo scalare. Invarianza dell'integrale curvilineo di un campo scalare per riparametrizzazioni equivalenti. Lunghezza di una curva. (appunti)
31 maggio: Esempi di calcolo di lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di un campo vettoriale. Invarianza per riparametrizzazioni equivalenti che preservano l'orientazione. Relazione tra le due nozioni di integrali curvilinei. Forme differenziali associate a campi vettoriali e loro integrali. Forme differenziali esatte; primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale per forme differenziali. Caratterizzazioni delle forme differenziali esatte. Criteri per stabilire che una forma differenziale non è esatta. Forme differenziali chiuse. Teorema di Poincaré. (appunti)
4 giugno: Esempi su forme differenziali. Cambiamenti di parametro; superfici equivalenti. Integrale di superficie di un campo scalare. Invarianza per riparametrizzazioni equivalenti. Area di una superficie. Interpretazione geometrica dell'integrale curvilineo di campi scalari. Area delle superfici di rotazione. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Invarianza del flusso per riparametrizzazioni equivalenti che preservano l'orientazione. Esempi. (appunti file geogebra in Teams)
6 giugno: Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes. Alcune proprietà dei campi vettoriali "di tipo rotore". Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in tre e due dimensioni. Teorema di Gauss-Green. Formule per il calcolo dell'area di un dominio regolare. Insiemi semplicemente connessi; estensione del teorema di Poincaré. Cambiamenti di variabile “ad hoc” in integrali doppi. (appunti figura: campo vettoriale con rotore nullo figura: campo vettoriale con rotore non nullo)
LE LEZIONI SONO TERMINATE!