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Descrizione sintetica degli argomenti trattati a lezione (Avvertenza: gli "appunti" vengono condivisi così come scritti durante la lezione)
19 settembre: Presentazione del corso. Metrica in un insieme, spazio metrico. Esempi: metrica del valore assoluto e metrica discreta. Sottospazi metrici. Intorno sferico. Punto interno; esterno, di frontiera, di accumulazione; interiore, frontiera, derivato, chiusura. Insieme aperto, insieme chiuso. Operazioni insiemistiche con insiemi aperti e con insiemi chiusi. Insiemi limitati, funzioni limitate. Funzioni continue tra spazi metrici. Gli spazi funzionali B(X,Y) e Cb(X,Y) con la metrica dell'estremo superiore. (appunti)
21 settembre: Successioni convergenti. Unicità del limite. Caratterizzazioni sequenziali di derivato e chiusura di un insieme e della continuità. Convergenza nei sottospazi metrici. Successioni di Cauchy; proprietà. Spazi metrici completi. Esempi di spazi metrici non completi. Completezza degli spazi metrici euclidei. Completezza dello spazio funzionale B(X,Y) con la metrica dell'estremo superiore. Legame tra chiusura e completezza. Completezza dello spazio funzionale Cb(X,Y) con la metrica dell'estremo superiore. (appunti)
26 settembre: Teorema delle contrazioni. Spazi metrici compatti. Legame tra compattezza, completezza, chiusura e limitatezza. Teorema di Heine-Borel. Esempi di insiemi chiusi e limitati non compatti. Spazi normati; spazi di Banach. Norma in spazi funzionali. Serie in spazi normati. Criterio di Cauchy. Serie normalmente convergenti. Completezza e convergenza normale. (appunti)
28 settembre: Esempio di metrica non completa in (C[a,b],R). Convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni; formulazioni equivalenti. Convergenza uniforme e unione insiemistica. Convergenza uniforme e limitatezza. Convergenza uniforme e continuità. (appunti)
3 ottobre: Condizione di Cauchy uniforme. Dimostrazione della completezza dello spazio funzionale B(X,Y) con la metrica dell'estremo superiore. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Osservazioni sul ruolo delle ipotesi e generalizzazioni. Passaggio al limite sotto il segno di derivata. Osservazioni sul ruolo delle ipotesi. (appunti)
5 ottobre: Osservazioni sul ruolo delle ipotesi e generalizzazioni del teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. Norma lagrangiana in spazi di funzioni derivabili. Serie di funzioni a valori in uno spazio normato: convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e assoluta. Implicazioni tra i modi di convergenza. (appunti)
10 ottobre: Esempi di studio di convergenza di serie di funzioni reali di variabile reale. Osservazioni sulla convergenza uniforme e totale di serie di funzioni continue. Osservazioni sulle serie che soddisfano puntualmente le ipotesi del criterio di Leibniz. (appunti)
12 ottobre: Ulteriori esempi di studio di serie di funzioni reali di variabile reale. Proprietà generali della somma di una serie di funzioni: limitatezza, continuità; integrazione e derivazione termine a termine. Massimo e minimo limite di una successione: definizioni, caratterizzazioni, esempi, proprietà. Criterio della radice per serie numeriche. (appunti)
17 ottobre: Criterio del rapporto per serie numeriche. Serie di potenze. Lemma fondamentale. Raggio di convergenza e struttura dell'insieme di convergenza. Criteri per la determinazione del raggio di convergenza. Informazioni aggiuntive sulla convergenza. (appunti)
19 ottobre: Esempi di studio di serie di potenze e di serie riconducibili a serie di potenze. Proprietà generali della somma di una serie di potenze. Relazione tra coefficienti di una serie di potenze e derivate della somma della serie. Principio di identità delle serie di potenze. (appunti)
24 ottobre: Serie di Taylor. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppabilità in serie di Taylor di alcune funzioni elementari. Applicazioni delle serie di Taylor: valutazione approssimata di funzioni non polinomiali. (appunti)
26 ottobre: Integrazione approssimata. Soluzioni in serie di potenze di equazioni differenziali lineari. Cenni sul prodotto di serie numeriche e di serie di potenze. (appunti curiosità sulle funzioni iperboliche)
31 ottobre: Ancora sul prodotto di serie numeriche e di serie di potenze. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Condizione sufficiente per la convergenza totale di serie trigonometriche. Formule di ortogonalità. Coefficienti di Fourier. Polinomi e serie di Fourier. Coefficienti di Fourier di funzioni simmetriche. Esempi di determinazione di serie di Fourier. (appunti)
9 novembre: Ulteriori esempi di determinazione di serie di Fourier. Proprietà dei polinomi di Fourier rispetto alla distanza quadratica; disuguaglianza di Bessel; teorema di Riemann-Lebesgue. Funzioni continue a tratti, regolari a tratti, monotone a tratti; funzione regolarizzata. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier. (appunti)
14 novembre: Studio della convergenza di alcune serie di Fourier; onda quadra. Integrazione termine a termine per le serie di Fourier. Utilizzo delle serie di Fourier per il calcolo della somma di alcune serie numeriche. Equazioni differenziali in forma generale e in forma normale. (appunti curiosità sul fenomeno di Gibbs)
16 novembre: Esempi di equazioni differenziabili riconducibili a forma normale. Problemi di Cauchy. Esempi di problemi di Cauchy privi di soluzioni o con soluzioni multiple. Equazioni differenziali vettoriali. Equivalenza tra equazioni di ordine superiore ed equazioni vettoriali del primo ordine. Regolarità delle soluzioni di equazioni differenziali in forma normale. Funzioni lipschitziane e localmente lipschitziane. Condizioni sufficienti per la locale lipschitzianità. (appunti)
21 novembre: Teorema di esistenza e unicità locale. (appunti)
23 novembre: Completamento della dimostrazione del teorema di esistenza e unicità locale. Soluzioni di problemi di Cauchy "in avanti" o "all'indietro". Approssimazioni successive di soluzioni di problemi di Cauchy. Corollari del teorema di esistenza e unicità locale; osservazioni sulle ipotesi. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazione logistica. (appunti)
28 novembre: Ulteriori esempi di equazioni a variabili separabili. Osservazioni su informazioni deducibili a priori: monotonia, asintoti. (appunti)
30 novembre: Ulteriori esempi di equazioni a variabili separabili. Soluzioni ottenute "incollando" soluzioni. Prolungamento di una soluzione; condizione sufficiente per la prolungabilità. Soluzioni massimali. Comportamento di una soluzione massimale agli estremi finiti dell'intervallo di esistenza. Criterio per stabilire a priori se l'intervallo di esistenza di una soluzione massimale è illimitato. Esempi di equazioni differenziali a variabili separabili con soluzioni definite implicitamente. (appunti)
5 dicembre: Ulteriore esempio di equazione differenziale a variabili separabili con soluzioni definite implicitamente. Esistenza e unicità del prolungamento massimale. Sviluppabilità in serie di Taylor della funzione binomiale. Equazioni differenziali di Manfredi. (appunti)
7 dicembre: Funzioni sublineari. Teorema di esistenza e unicità globale. Cenni sulla dipendenza continua dai dati. Esempi di equazioni differenziali di Manfredi. (appunti)
12 dicembre: Ulteriore esempio di equazione differenziale di Manfredi. Equazioni differenziali di Bernoulli. (appunti)
14 dicembre: Ulteriori esempi di equazioni differenziali di Bernoulli. Deduzione dei risultati di esistenza e unicità locale e globale per equazioni scalari di ordine superiore dai corrispondenti risultati relativi a equazioni vettoriali di ordine 1. Verifica dell'applicabilità del teorema di esistenza e unicità locale a equazioni differenziali lineali di ordine superiore. Cenni sui sistemi differenziali lineari. (appunti)
19 dicembre: "Seminario" su sistemi differenziali lineari. (link per "ritratto delle fasi")
21 dicembre: risoluzione di esercizi e quesiti a richiesta
