Diario delle lezioni 2024
Slides (Avvertenza: dopo ciascuna lezione il file aggiornato sostituisce il precedente)
Presentazione del corso
Spazi metrici
Successioni e serie di funzioni
Equazioni differenziali
Descrizione sintetica degli argomenti trattati a lezione (Avvertenza: gli "appunti" vengono condivisi così come scritti durante la lezione)
24 settembre: Presentazione del corso. Metrica in un insieme, spazio metrico. Esempi: metrica discreta e metrica euclidea. Sottospazi metrici. Intorno sferico. Punto interno; esterno, di frontiera, di accumulazione; interiore, frontiera, derivato, chiusura. Insieme aperto, insieme chiuso. Operazioni insiemistiche con insiemi aperti e con insiemi chiusi. Insiemi limitati, funzioni limitate. Successioni convergenti. Unicità del limite. Caratterizzazioni sequenziali di derivato e chiusura di un insieme. (appunti)
26 settembre: Convergenza nei sottospazi metrici. Successioni di Cauchy; proprietà. Spazi metrici completi. Esempi di spazi metrici non completi. Completezza degli spazi metrici euclidei. Legame tra chiusura e completezza. Spazi metrici compatti. Legame tra compattezza, completezza, chiusura e limitatezza. Esempi di insiemi chiusi e limitati non compatti. Funzioni continue tra spazi metrici. Continuità della distanza da un punto fissato. Teoremi di Weierstrass e di Cantor. Contrazioni. (appunti)
1 ottobre: Teorema delle contrazioni. Metrica dell'estremo superiore negli insiemi B(X,Y) e Cb(X,Y). Ulteriore esempio di insieme chiuso e limitato non compatto. Completezza degli spazi B(X,Y) e Cb(X,Y). (appunti)
3 ottobre: Spazi normati. Metrica indotta da una norma. Spazi di Banach. Norma dell'estremo superiore in spazi di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Esempi. (appunti)
7 ottobre: Ulteriori esempi sulla convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni. Formulazioni equivalenti della convergenza. Convergenza uniforme e unione insiemistica. Convergenza uniforme e limitatezza. Convergenza uniforme e continuità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Osservazioni sul ruolo delle ipotesi. (appunti)
8 ottobre: Osservazioni sulle generalizzazioni del teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Passaggio al limite sotto il segno di derivata. Osservazioni sul ruolo delle ipotesi. Norma lagrangiana in spazi di funzioni derivabili. (appunti)
15 ottobre: Verifiche sulla norma lagrangiana. Serie di funzioni a valori in uno spazio normato: convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e assoluta. Implicazioni tra i modi di convergenza. Esempi di studio di convergenza di serie di funzioni reali di variabile reale. (appunti)
17 ottobre: Esempi di studio di convergenza di serie di funzioni reali di variabile reale. Osservazioni sulla convergenza uniforme e totale di serie di funzioni continue. Osservazioni sulle serie che soddisfano puntualmente le ipotesi del criterio di Leibniz. (appunti)
22 ottobre: Ulteriori esempi di studio di serie di funzioni reali di variabile reale. Proprietà generali della somma di una serie di funzioni: limitatezza, continuità; integrazione e derivazione termine a termine. Massimo e minimo limite di una successione: definizioni, caratterizzazioni, esempi, proprietà. Criterio della radice e criterio del rapporto per serie numeriche. (appunti)
24 ottobre: Lemma fondamentale sulle serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema di struttura dell'insieme di convergenza. Informazioni aggiuntive sulla convergenza. Esempi di studio di serie di potenze. (appunti)
29 ottobre: Esempi di studio di serie di potenze e di serie riconducibili a serie di potenze. Proprietà generali della somma di una serie di potenze: continuità e integrabilità termine a termine (appunti).
31 ottobre: Derivabilità termine a termine per serie di potenze. Relazione tra coefficienti di una serie di potenze e derivate della somma della serie. Principio di identità delle serie di potenze. Serie di Taylor. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppabilità in serie di Taylor di alcune funzioni elementari. Applicazioni delle serie di Taylor: valutazione approssimata di funzioni non polinomiali. (appunti)
7 novembre: Valutazione approssimata di funzioni non polinomiali. Integrazione approssimata. Soluzioni in serie di potenze di equazioni differenziali lineari. (appunti ho corretto una svista a pagina 8)
12 novembre: Cenni sul prodotto di serie numeriche e di serie di potenze. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Condizione sufficiente per la convergenza totale di serie trigonometriche. Formule di ortogonalità. Coefficienti di Fourier. Polinomi e serie di Fourier. Coefficienti di Fourier di funzioni simmetriche. (appunti)
14 novembre: Esempi di determinazione di serie di Fourier. Proprietà dei polinomi di Fourier rispetto alla distanza quadratica; disuguaglianza di Bessel; teorema di Riemann-Lebesgue. Funzioni continue a tratti, regolari a tratti, monotone a tratti; funzione regolarizzata. Condizioni sufficienti per la convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier. (appunti)
19 novembre: Dimostrazione della condizione sufficiente per la convergenza uniforme. Studio della convergenza di alcune serie di Fourier; onda quadra. Integrazione termine a termine per le serie di Fourier. Utilizzo delle serie di Fourier per il calcolo della somma di alcune serie numeriche. Equazioni differenziali in forma generale e in forma normale. (appunti ho corretto una imprecisione a pagina 10 curiosità sul fenomeno di Gibbs)
21 novembre: Esempi di equazioni differenziabili in forma normale e riconducibili a forma normale. Problemi di Cauchy. Esempi di problemi di Cauchy privi di soluzioni o con soluzioni multiple. Equazioni differenziali vettoriali. Equivalenza tra equazioni di ordine superiore ed equazioni vettoriali del primo ordine. Regolarità delle soluzioni di equazioni differenziali in forma normale. Funzioni lipschitziane. (appunti ho corretto una svista a pagina 10)
26 novembre: Funzioni localmente lipschitziane. Condizioni sufficienti per la locale lipschitzianità. Teorema di esistenza e unicità locale. Soluzioni di problemi di Cauchy "in avanti" o "all'indietro". Corollari del teorema di esistenza e unicità locale; osservazioni sulle ipotesi. (appunti)
28 novembre: Approssimazioni successive di soluzioni di problemi di Cauchy. Dimostrazione della condizione sufficiente per la locale lipschitzianità. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazione logistica. (appunti)
3 dicembre: Ulteriori esempi di equazioni a variabili separabili. Osservazioni su informazioni deducibili a priori: monotonia, asintoti. (appunti) A richiesta: bozza di svolgimento della prima prova di esonero
5 dicembre: Ulteriori esempi di equazioni a variabili separabili. Soluzioni ottenute "incollando" soluzioni. Equazioni differenziali di Manfredi. (appunti)
10 dicembre: Ulteriore esempio di equazione differenziale di Manfredi. Equazioni differenziali di Bernoulli. (appunti)
12 dicembre: Ulteriori esempi di equazioni differenziali di Bernoulli. Prolungamento di una soluzione; condizione sufficiente per la prolungabilità. Soluzioni massimali. Comportamento di una soluzione massimale agli estremi finiti dell'intervallo di esistenza. Criterio per stabilire a priori se l'intervallo di esistenza di una soluzione massimale è illimitato. (appunti)
17 dicembre: Esistenza e unicità del prolungamento massimale. Funzioni sublineari; condizioni sufficienti per la sublinearità. Teorema di esistenza e unicità globale. Sviluppabilità in serie di Taylor della funzione binomiale. (appunti)
18 dicembre: Cenni sulla dipendenza continua dai dati. Deduzione dei risultati di regolarità e di esistenza e unicità locale e globale per equazioni scalari di ordine superiore dai corrispondenti risultati relativi a equazioni vettoriali di ordine 1. Verifica dell'applicabilità del teorema di esistenza e unicità locale a equazioni differenziali lineari di ordine superiore. (appunti)
LE LEZIONI SONO TERMINATE!