Diario delle lezioni SN a.a. 2021-22

4/10:  Presentazione del corso. Insiemi e loro rappresentazione. Relazione di appartenenza e di inclusione. Operazione tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare, prodotto cartesiano. Cardinalità del prodotto cartesiano.

5/10:  Cenni di logica elementare: Proposizioni logiche. Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, equivalenza,
implicazione. Predicati e quantificatori. Dimostrazioni in Matematica: dimostrazioni dirette e indirette. La dimostrazione per assurdo.

 7/10: Gli insiemi numerici N, Z, Q, R. Teorema (dim.): irrazionalità di radice di 2. Rappresentazione decimale: allineamenti
decimali finiti, illimitati periodici e non periodici. Rappresentazione geometrica dei numeri. La retta reale.

8/10: Intervalli di R e loro notazione: intervalli chiusi, aperti, limitati, illimitati. Notazione scientifica e ordine di grandezza. Errori di misura: errore assoluto, relativo, percentuale. Esercizi di riepilogo.

11/10: Richiami di geometria analitica. Il piano cartesiano. Equazioni delle rette parallele agli assi. Equazione della generica retta informa esplicita. Coefficiente angolare. Equazione in forma esplicita. Condizioni di parallelismo e diperpendicolarità.

12/10: Richiami di geometria analitica. Distanza tra due punti del piano. Equazione della circonferenza. Esempi ed esercizi.

14/10: Completamento geometria analitica: Equazione della parabola.Proprietà geometriche e analitiche. Vertice e asse della parabola. Disequazioni di secondo grado.

15/10: Disequazioni razionali fratte. Sistemi di disequazioni. Valore assoluto: definizione e proprietà. Disequazioni con il valore assoluto.

18/10: Il concetto di funzione. Dominio e immagine di una funzione. Immagini e controimmagini di punti e di insiemi. Funzioni ineittive e suriettive. Invertibilità e funzione inversa.

19/10: Composizione tra funzioni. Dominio della funzione composta. Esempi. Grafico di una funzione. Esercizi grafici su iniettività e suriettività. Calcolo della funzione inversa.

21/10: Grafico della funzione inversa. Proprietà qualitative delle funzioni reali di variabile reale. Monotonia: funzioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti. Relazione tra monotonia e invertibilità. Proprietà di simmetria: funzioni pari, dispari. Funzioni periodiche. (2h). Insiemi limitati e completamento proprietà di R. Insiemi limitati inferiormente, superiormente. Maggioranti, minoranti. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore in R. Funzioni limitate, sup e inf, max e min di una funzione. Prime funzioni elementari e relativi grafici: lineari, quadratiche , valore assoluto, funzione reciproco, parte intera, mantissa (2h).

22/10: Funzione potenza ad esponente intero, frazionario, reale: definizioni, proprietà e relativi grafici. Richiami proprietà algebriche delle potenze.

25/10: Disequazioni elementari con le funzioni potenza e radice. Disequazioni irrazionali più generali. La funzione esponenziale: definizione, grafico e proprietà. La funzione logaritmo: definizione e prime proprietà.

26/10: Grafico della funzione logaritmo. Proprietà algebriche dei logaritmi. Disequazioni elementari con la funzione esponenziale e logaritmo. Esempio di applicazione dei logaritmi: il pH di una sostanza.

28/10: Esercizi di riepilogo sulle disequazioni. Esercizi su determinazione di dominio, zeri e segno di una funzione.

29/10: Esercizi di riepilogo su dominio e segno di una funzione, esercizi elementari su potenze, logaritmi, percentuali. Trasformazioni di grafici: traslazioni verticali e orizzontali.

2/11: Trasformazioni di grafici (completamento): dilatazioni e compressioni verticali e orizzontali, composizioni con il valore assoluto. Esempi. Richiami di trigonometria. Misura di un angolo in radianti.

4/11: Definizione di seno e coseno di un angolo. Relazione fondamentale della trigonometria. Valori noti di seno e coseno. Proprietà delle funzioni seno e coseno e relativi grafici. Definizione di tangente di un angolo.

5/11: Valori noti della tangente. Proprietà e grafico della funzione tangente. Equazioni e disequazioni trigonometriche elementari. Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente.

8/11: Applicazione della trigonometria alla risoluzione dei triangoli. Introduzione del concetto di limite di funzione. Intorno di un punto. Punto di accumulazione. Definizione di limite.

9/11: Limiti finiti e infiniti. Limite destro e limite sinistro. Limiti delle funzioni elementari.

11/11: Limiti delle funzioni elementari (completamento). Algebra dei limiti. Limiti della somma, prodotto, quoziente di funzioni. Aritmetizzazione del simbolo infinito. Forme indeterminate.

15/11: Limiti di polinomi. Limiti di funzioni razionali fratte. Limiti di funzioni irrazionali.

16/11: Limite della funzione composta. Limiti notevoli. Funzioni asintoticamente equivalenti e principi di sostituzione. Esercizi.

18/11: Confronto tra infiniti: infiniti dello stesso ordine, infinito di ordine superiore, inferiore rispetto ad un altro, infiniti non confrontabili. Confronto tra infinitesimi. Gerarchia degli gli infiniti di tipo esponenziale, potenza e logaritmo. Esercizi.

19/11: Teoremi sui limiti: Teorema di unicità del limite (dim.); Teorema di permanenza del segno (dim.); Teorema dei carabinieri (dim.). Asintoti di una funzione: orizzontali, verticali, obliqui.

22/11: Successioni. Limite di successione. Suggessioni convergenti, divergenti, non regolari: esempi. Successioni monotone. Successioni limitate. Teorema sul limite delle successioni monotone.

23/11: Successioni (completamento): definizione del numero di nepero e. Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Algebra delle funzioni continue: continuità della somma, prodotto, quoziente di funzioni continue. Continuità della funzione composta. Continuità delle funzioni elementari. Tipi di discontinuità: discontinuità eliminabili, di salto o di prima specie, di seconda specie.

25/11: Teoremi sulle funzioni continue (solo enunciati): teorema sulla continuità della funzione composta, teorema sulla permanenza del segno per funzioni continue, teorema degli zeri, teorema di Weierstrass. Introduzione alla derivata. Rapporto incrementale. Funzione derivabile in un punto e in un intervallo. Significato geometrico di derivata.

27/11: Derivate delle funzioni elementari. Relazione tra continuità e derivabilità. Esempio di funzione continua in un punto ma non derivabile nel punto. Punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.

29/11: Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto, del quoziente  di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta. Esempi ed esercizi. Massimi e minimi relativi (definizione). Teorema di Fermat (dim.) 

30/11: Teorema di Rolle (dim). Teorema di Lagrange (dim.). Studio della monotonia di una funzione. Criterio di monotonia (dim.). Criterio di stretta monotonia (solo enunciato).

2/12: Condizioni necessarie e sufficienti per la ricerca dei massimi e minimi relativi. Convessità e concavità. Flessi. Derivate successive. Criterio di convessità. Criterio per la ricerca dei flessi. Introduzione allo studio completo di funzione.

3/12: Esercizi sullo studio di funzione.

6/12:Esercizi sullo studio di funzione. Introduzione all'integrale definito. Partizioni di un intervallo. Somme integrali inferiori e superiori relative ad una partizione.

7/12: Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e integrale definito. Integrabilità delle funzioni continue (enunciato).  Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann. Significato geometrico dell'integrale definito. Esercizi di riepilogo.

9/12: Esercizi su continuità e derivabilità. Esercizi di riepilogo.

10/12: Proprietà dell'integrale definito: linearità, additività rispetto all'intervallo, monotonia rispetto alla funzione. Definizione di media integrale e suo significato. Premessa al teorema della media: Teorema dei valori intermedi (enunciato). Teorema della media integrale (dim.).  Esercizi di riepilogo.

14/12: Primitive di una funzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). Teorema di caratterizzazione delle primitive in un intervallo (dim.). Formula fondamentale del calcolo integrale (dim.). Integrale indefinito. Integrali immediati.

16/12: Integrali "quasi immediati". Integrazione di funzioni razionali fratte con denominatore di secondo grado. Esempi.

17/12: Integrazione di funzioni razionali fratte (completamento). Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Esercizi.

20/12: Integrali impropri (cenni). Inroduzione alla statistica. Statistica descrittiva e statistica inferenziale. Caratteri (o variabili statistiche) qualitativi e quantitativi. Frequenze assolute, relative, percentuali, cumulative.

21/12: Indici statistici di posizione o tendenza centrale: media, moda, mediana. Media aritmetica (semplice o ponderata), media geometrica, media armonica, media quadratica. Mediana, quartili, ventili, decili, percentili, quantili di ordine alpha. Indici statistici di dispersione: varianza, scarto quadratico medio, scarto interquartile, intervallo di variazione o range.

10/01: Tabelle di frequenza. Rappresentazioni grafiche: grafici a bastoncini, istogrammi, box-plot, diagrammi a torta, grafici ramo-foglia. Campioni approssimativamente normali. Introduzione alla correlazione tra variabili. Distribuzioni a due caratteri. Diagramma a dispersione. Covarianza. Indice di correlazione lineare.

11/01: Retta dei minimi quadrati o retta di regressione. Esercizio sulla regressione lineare. Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni (semplici e con ripetizione), permutazioni (semplici e con ripetizione), combinazioni.

13/01: Definizioni di probabilità: classica, frequentistica, soggettivista.  Definizione assiomatica di probabilità. Conseguenze degli assioni: probabilità dell'evento complementare, probabilità dell'unione di due eventi non necessariamente disgiunti. Esempi.

14/01: Probabilità condizionata. Eventi indipendenti. Probabilità dell'intersezione (o dell'evento composto). Esempi. Introduzione alle variabili aleatorie. Variabili aleatorie discrete. Valori e distribuzione di probabilità associati ad una v.a. discreta. Definizione di funzione di distribuzione di una v.a. e suo grafico nel caso discreto.

17/01: Media o valore atteso, varianza e scarto quadratico medio di una v.a. discreta. Esempio di v.a. discreta: la v.a. di Bernoulli o binomiale. Esempi di applicazione. Variabili aleatorie continue e densità di probabilità.

18/01: Media o valore atteso, varianza e scarto quadratico medio di una v.a. continua. Esempio di v.a. continua: la v.a. normale. V.a. normale standard. Proprietà della funzione gaussiana. Tavole della distribuzione normale standard ed esercizi relativi. Quantili gaussiani.