Diario delle lezioni SN 2024/25

07/10/2024: Presentazione del corso. Richiami di linguaggio insiemistico. Insiemi e loro rappresentazione. Relazione di appartenenza e di inclusione. Operazione tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare.

08/10/2024: Insiemistica (completamento): Proprietà delle operazioni tra insiemi. Prodotto cartesiano. Cardinalità del prodotto cartesiano. Cenni di logica elementare. Proposizioni logiche. Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, equivalenza, implicazione.

10/10/2024: Predicati e quantificatori. Dimostrazioni in Matematica: dimostrazioni dirette e indirette. La dimostrazione per assurdo. Insiemi numerici: insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, reali. Teorema sulla irrazionalità di radice di 2. Rappresentazione decimale dei numeri.

11/10/2024: Rappresentazione decimale dei numeri. Approssimazione di un numero: troncamento e arrotondamento. Rappresentazione geometrica dei numeri. La retta reale. Gli intervalli di R: limitati, illimitati, chiusi, aperti.

14/10/2024: Richiami di geometria analitica. Il piano cartesiano. Equazione delle rette parallele agli assi. Equazione della generica retta in forma esplicita e in forma implicita. Coefficiente angolare. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità fra rette.

15/10/2024: Esercizi sulla retta. Distanza tra due punti del piano cartesiano. Equazione della circonferenza. Esempi.

17/10/2024: La parabola. Equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle y. Asse e vertice della parabola. Esempi.  Richiami sulle disequazioni di secondo grado.

18/10/2024: Esercizi sulle disequazioni di secondo grado. Disequazioni di tipo prodotto e quoziente. Sistemi di disequazioni.

21/10/2024: Valore assoluto. Disequazioni con il valore assoluto. Esercizi.  Introduzione al concetto di funzione. Dominio, insieme di arrivo, immagine o codominio.

22/10/2024: Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Invertibilità e funzione inversa. La funzione composta. Dominio della funzione composta. Esempi.

24/10/2024: Il grafico di una funzione. Calcolo della funzione inversa. Grafico della funzione inversa. Proprietà delle funzioni reali di variabile reale. Monotonia: funzioni crescenti, decrescenti, strettamente monotone.

25/10/2024: Relazione tra stretta monotonia e invertibilità. Proprietà di simmetria: funzioni pari, funzioni dispari. Esempi. Periodicità. Proprietà di R (completamento): insiemi limitati, sup ed inf di un insieme limitato, teorema di esistenza dell'estremo superiore (solo enunciato).

28/10/2024: Funzioni limitate: sup e inf, max e min di una funzione. Alcune funzioni elementari e loro grafici: funzioni lineari, quadratiche, funzione valore assoluto, funzione reciproco, funzione parte intera e mantissa. La funzione potenza. Potenza ad esponente intero, pari e dispari: definizione, proprietà e grafici. Funzione radice: definizione, proprietà e grafici.

29/10/2024: Funzione potenza ad esponente intero negativo, frazionario, reale: definizione, proprietà e grafici. Richiami sulle proprietà delle potenze. Disequazioni elementari con le funzioni potenza e radice.

31/10/2024: Disequazioni irrazionali più generali. La funzione esponenziale: definizione, proprietà, grafici. La funzione logaritmo: definizione. proprietà e grafici. Proprietà algebriche dei logaritmi.

4/11/2024: Disequazioni esponenziali e logaritmiche. Esercizi di riepilogo su logaritmi e potenze. Applicazione dei logaritmi: il PH di una sostanza.

5/11/2024: Trasformazioni di grafici: traslazioni verticali e orizzontali, dilatazioni e compressioni (verticali e orizzontali), riflessioni rispetto agli assi, composizioni con il valore assoluto.

7/11/2024:  Richiami di trigonometria. Nozione di angolo e sua misura. Definizione di seno e coseno di un angolo. Relazione fondamentale della trigonometria. Funzioni seno e coseno: proprietà e grafici. Formule di addizione e sottrazione per seno e coseno, formule di duplicazione.

8/11/2024: Definizione di tangente di un angolo. Funzione tangente: proprietà e grafico. Equazioni e disequazioni elementari con le funzioni seno, coseno, tangente. Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Proprietà e relativi grafici. Disequazioni elementari con le funzioni trigonometriche.

11/11/2024: Applicazione della trigonometria alla risoluzione dei triangoli: teoremi sui trinagoli rettangoli e sui triangoli qualunque (Teorema dei seni, Teorema di Carnot). Primi esericizi su dominio, zeri, segno di funzioni.

1211/2024: Introduzione del concetto di limite di funzione. Intorno di un punto. Punto di accumulazione. Definizione di limite. Definizione di limite nei vari casi, finiti e infiniti. Limite destro e limite sinistro. Rappresentazione grafica del limite. Limiti delle funzioni elementari.

14/11/2024: Limite delle funzioni elementari. Algebra dei limiti: limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate. Limite di polinomi. Limite di funzioni razionali frattte. Esercizi.

15/11/2024: Limiti di funzioni irrazionali. Teorema sul limite della funzione composta. Esempi ed esercizi.

18/11/2024: Limite del prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata. Limiti notevoli. Funzioni asintoticamente equivalenti e Principio di sostituzione. Esercizi.

19/11/2024: Gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi. Confronto tra infiniti di tipo potenza, esponenziale, logaritmo. Esempi ed esercizi.

21/11/2024: Teoremi sui limiti: Teorema di Unicità del limite (dim.), Teorema sulla permanenza del segno (dim.), Teorma dei carabinieri (dim.). Asintoti di una funzione: verticali, orizzontali, obliqui.

22/11/2024: Esercizi sugli asintoti. Esercizi di riepilogo per il primo esonero.

25/11/2024: Successioni (cenni). Definizione di successione. Limite di successioni. Successioni convergenti, divergenti, non regolari. Teoremi sui limiti di successione. Teorema sulla regolarità delle funzioni monotone. Definizione del numero di Nepero e.

26/11/2024: La continuità. Definizione di funzione continua in un punto e in un insieme. Continuità della somma, prodotto , quoziente di funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Tipi di discontinuità: discontinuità eliminabile, di salto (o prima specie), di seconda specie. Teoremi sulle funzioni continue (solo enunciati): Teorema di continuità della funzione composta, Teorema della permanenza del segno per funzioni continue, Teorema degli zeri (o di Bolzano), Teorema di Weierstrass.

28/11/2024: Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato geometrico di derivata. Derivate di alcune funzioni elementari.

29/11/2024: Elenco delle derivate delle funzioni elementari. Derivabilità sinistra e destra. Punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Regole di derivazione: derivata della somma, prodotto, quoziente di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta. Esercizi.

02/12/2024: Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim.), Teorema di Rolle (dim.), Teorema di Lagrange (dim.). Criterio di monotonia (dim.).

09/12/2024: Criterio di stretta monotonia (solo enunciato). Condizioni necessarie e sufficienti per la ricerca dei massimi e minimi relativi. Convessità e concavità. Flessi. Derivate successive. Criterio di convessità (solo enunciato). Criterio per la ricerca dei flessi.

10/12/2024: Completamento teoria sui limiti: il Teorema di de l'Hopital (solo enunciato). Esempi di applicazione. Studio completo di funzione: primi esercizi.

12/12/2024: Esercizi sullo studio di funzione. Esercizi su continuità e derivabilità.

13/12/2024: Introduzione agli integrali. Partizione di un intervallo. Somme integrali inferiori e superiori. Funzioni integrabili secondo Riemann e integrale definito. Teorema di integrabilità delle funzioni continue (solo enunciato).  Interpretazione geometrica dell'integrale definito.

16/12/2024: Proprietà dell'integrale: additività rispetto all'intervallo, linearità dell'integrale, monotonia rispetto alla funzione. Media integrale. Teorema della media integrale (dim.). Premessa: Teorema dei valori intermedi per funzioni continue (solo enunciato).  Primitive di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale (solo enunciato). Teorema di caratterizzazione delle primitive in un intervallo (dim.). Formula fondamentale del calcolo integrale (dim.).

17/12/2024: Integrale indefinito. Integrali immediati. Integrali "quasi-immediati". Integrali per decomposizione in somma.

17/12/2024 (bis): Esercizi di riepilogo per il secondo esonero.

19/12/2024: Integrali di funzioni razionali fratte con denominatore di secondo grado. Esempi ed esercizi.

20/12/2024: Metodi di integrazione per parti e per sostituzione. Esempi ed esercizi. Cenni agli integrali impropri.

07/01/2025: Introduzione alla statistica. Statistica descrittiva e statistica inferenziale. Popolazione statistica, unità statistiche, caratteri (o variabili statistiche) quantitativi e qualitativi. Frequenze assolute, relative, percentuali, cumulate. Indici statistici di posizione o tendenza centrale: media, moda, mediana. Tipi di medie: media aritmetica (semplice e ponderata), media geometrica, ...

09/01/2025 (3 ore):....media armonica, media quadratica. Esempi. Moda. Mediana. Quartili, ventili, percentili. Quantili di ordine alpha, con 0<alpha<1. Indici statistici di dispersione. Varianza, scarto quadratico medio (o deviazione standard), scarto interquartile, range o intervallo di variazione. Esempi di calcolo di indici. Rappresentazioni grafiche di dati: grafico a bastoncini, istogramma di frequenze, grafico poligonale, diagramma a torta, box-plot. Campioni di dati approssimativamente normali.

10/01/2025: Introduzione alle distribuzioni a due caratteri. Diagramma a dispersione. Correlazione tra variabili. Indice di covarianza. Indice di correlazione lineare. Retta dei minimi quadrati o retta di regressione. Formula della retta di regressione.

13/01/2025: Esercizi sulla retta di regressione. Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Esempi ed esercizi.

14/01/2025: Introduzione alla probabilità elementare. Definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista, assiomatica. Conseguenze degli assiomi. Probabilità condizionata. Eventi indipendenti.

16/01/2025 (3 ore) Variabili aleatorie discrete. Valori di sintesi di una v.a. discreta: media o valore atteso, varianza, scarto quadratico medio. Esempio di v.a. discreta: la variabile aleatoria di Bernoulli o distribuzione binomiale. Variabili aleatorie continue. Densità di probabilità di una variabile aleatoria continua e sue proprietà. Media o valore atteso di una v.a. continua. Esempio di v.a. continua: la distribuzione normale. Proprietà della funzione gaussiana. Variabile aleatoria normale standard.

17/01/2025: Tavole della distribuzione normale standard e loro uso.Quantili gaussiani. Esercitazione di riepilogo sulla statistica.