Diario delle lezioni - Matematica ed Elementi di Statistica SN a.a. 2023/24

02/10/2023: Presentazione del corso. Richiami di linguaggio insiemistico. Insiemi e loro rappresentazione. Relazione di appartenenza e di inclusione. Operazione tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare.

03/10/2023: Insiemistica (completamento): Proprietà delle operazioni tra insiemi. Prodotto cartesiano. Cardinalità del prodotto cartesiano. Cenni di logica elementare. Proposizioni logiche. Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, equivalenza, implicazione.

05/10/2023: Predicati e quantificatori. Dimostrazioni in Matematica: dimostrazioni dirette e indirette. La dimostrazione per assurdo. Insiemi numerici: insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, reali. Teorema sulla irrazionalità di radice di 2. Rappresentazione decimale dei numeri.

06/10/2023: Approssimazione di un numero: troncamento e arrotondamento. Rappresentazione geometrica dei numeri. La retta reale. Gli intervalli di R: limitati, illimitati, chiusi, aperti.

09/10/2023: Richiami di geometria analitica. Il piano cartesiano. Equazione delle rette parallele agli assi. Equazione della generica retta in forma esplicita e in forma implicita. Coefficiente angolare. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità fra rette.

10/10/2023: Distanza tra due punti del piano cartesiano. Equazione della circonferenza. Equazione della parabola. Asse e vertice della parabola.

12/10/2023: Parabola (completamento). Proprietà, esempi, esercizi. Richiami sulle disequazioni di secondo grado. Disequazioni di tipo prodotto.

13/10/2023: Disequazioni fratte. Sistemi di disequazioni. Valore assoluto. Disequazioni col valore assoluto.

16/10/2023: Il concetto di funzione. Dominio e immagine di una funzione. Immagini e controimmagini di punti e di insiemi. Funzioni iniettive e suriettive. Invertibilità e funzione inversa.

17/10/2023: Composizione tra funzioni. Dominio della funzione composta. Grafico di una funzione. Calcolo della funzione inversa. Grafico della funzione inversa.  Proprietà qualitative delle funzioni reali di variabile reale. Monotonia: funzioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti.

19/10/2023: Relazione tra monotonia e invertibilità. Proprietà di simmetria: simmetria pari e dispari. Periodicità. Limitatezza. Insiemi limitati: maggioranti, minoranti, massimo e minimo, estremo superiore, estremo inferiore.

20/10/2023: Funzioni limitate: sup e inf, max e min di una funzione. Alcune funzioni elementari e loro grafici: funzioni lineari, quadratiche, funzione valore assoluto. funzione reciproco, funzione parte intera e mantissa. La funzione potenza. Potenza ad esponente intero, pari e dispari: definizione, proprietà e grafici.

23/10/2023: Funzione radice: proprietà e grafici. Funzione potenza ad esponente intero negativo, frazionario, reale: proprietà e relativi grafici. Disequazioni elementari con la funzione potenza.

24/10/2023: Disequazioni elementari con la funzione radice. Disequazioni irrazionali più generali. Esercizi. La funzione esponenziale: definizione, proprietà e relativo grafico. La funzione logaritmo: definizione, proprietà e relativo grafico. Proprietà algebriche del logaritmi.

26/10/2023: Proprietà dei logaritmi (completamento). Disequazioni esponenziali e logaritmiche.

27/10/2023: Trasformazioni di grafici: traslazioni verticali e orizzontali, dilatazioni verticali e orizzontali, composizioni con il valore assoluto.

30/10/2023: Richiami di trigonometria. Nozione di angolo e sua misura. Definizione di seno e coseno di un angolo. Relazione fondamentale della trigonometria. Funzioni seno e coseno: proprietà e grafici.

31/10/2023: Formule di addizione e sottrazione per seno e coseno, formule di duplicazione. Definizione di tangente di un angolo. Funzione tangente: proprietà e grafico. Equazioni e disequazioni elementari con le funzioni seno, coseno, tangente.

6/11/2023: Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Proprietà e relativi grafici. Disequazioni elementari con le funzioni trigonometriche. Primi esericizi su dominio, zeri, segno di funzioni.

7/11/2023:  Introduzione del concetto di limite di funzione. Intorno di un punto. Punto di accumulazione. Definizione di limite.

9/11/2023: Definizione di limite nei vari casi, finiti e infiniti. Limite destro e limite sinistro. Rappresentazione grafica del limite. Limiti delle funzioni elementari.

10/11/2023: Algebra dei limiti: limite della somma, del prodotto, del quoziente. Forme indeterminate. Limite di polinomi. Limite di funzioni razionali frattte. Esercizi.

13/11/2023: Limiti di funzioni irrazionali. Teorema sul limite della funzione composta. Limiti notevoli.

14/11/2023: Funzioni asintoticamente equivalenti e Principio di sostituzione. Gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi. Esercizi.

16/11/2023: Teoremi sui limiti: Teorema di unicità del limite (dim.); Teorema della permanenza del segno (dim.); Teorema dei carabinieri (dim.). Asintoti di una funzione: verticali , orizzontali.

17/11/2023: Asintoti (completamento): asintoti obliqui. Introduzione alle successioni. Definizione di successione. Successioni regolari (convergenti, divergenti), successioni non regolari. Esempi.

20/11/2023: Successioni (completamento). Limiti di successione. Teoremi sui limiti per le successioni. Successioni monotone. Successioni limitate. Teorema sulla regolarità delle successioni monotone (solo enunciato). Definizione del numero di Nepero e.

21/11/2023: Esercizi di riepilogo.

23/11/2023: Esercizi di riepilogo per l'esonero.

24/11/2023: La continuità. Definizione di funzione continua in un punto e in un insieme. Tipi di discontinuità: eliminabili, di prima specie o di salto, di seconda specie. Continuità di somma, prodotto, quoziente di funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari.Teoremi sulle funzioni continue (solo enunciati): Teorema sulla continuità della composta, Teorema della permanenza del segno per funzioni continue, Teorema degli zeri o di Bolzano, Teorema di Weierstrass.

27/11/2023: Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato geometrico di derivata. Derivate di alcune funzioni elementari.

28/11/2023: Elenco delle derivate delle funzioni elementari. Derivabilità sinistra e destra. Punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Regole di derivazione: derivata della somma, prodotto, quoziente di funzioni derivabili. Derivata della funzione composta. Esercizi.

30/11/2023: Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim.), Teorema di Rolle (dim.), Teorema di Lagrange (dim.), Criterio di monotonia (dim.). Criterio di stretta monotonia (solo enunciatio).

1/12/2023: Criterio per la ricerca dei massimi e minimi relativi. Funzioni convesse e concave. Derivate successive. Criterio di convessità . Criterio per la ricerca dei flessi. Completamento della teoria dei limiti: il teorema di De L'Hopital. Esempi di applicazione.

4/12/2023: Esercizi sullo studio completo di funzione.

5/12/2023: Esercizi sullo studio completo di funzione. Esercizi su continuità e derivabilità.

7/12/2023: Introduzione agli integrali. Partizione di un intervallo. Somme integrali inferiori e superiori. Funzioni integrabili secondo Riemann e integrale definito.  Teorema di integrabilità delle funzioni continue (solo enunciato). Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann.

11/12/2023:  Interpretazione geometrica dell'integrale definito. Proprietà dell'integrale: additività rispetto all'intervallo, linearità dell'integrale, proprietà di confronto.  Media integrale. Teorema della media integrale (dim.). Premessa: Teorema dei valori intermedi per funzioni continue (solo enunciato). Primitive di una funzione.

12/12/2023: Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). Teorema di caratterizzazione delle primitive in un intervallo (dim.). Formula fondamentale del calcolo integrale (dim.). Integrale indefinito. Integrali immediati.

14/12/2023: Integrali "quasi-immediati". Integrali per decomposizione in somma. Integrali di funzioni razionali fratte con denominatore di secondo grado.

15/12/2023: Completamento integrali di funzioni razionali fratte. Metodo di integrazione per parti. Metodo di integrazione per sostituzione. Integrali impropri (cenni).

18/12/2023: Integrali impropri: completamento. Introduzione alla statistica. Statistica descrittiva e statistica inferenziale. Popolazione statistica, unità statistiche, caratteri (o variabili statistiche) quantitativi e qualitativi.

19/12/2023: Frequenze assolute, relative, percentuali, cumulate. Indici statistici di posizione o tendenza centrale: media, moda mediana. Tipi di medie: media aritmetica (semplice e ponderata), media geometrica, media armonica, media quadratica. Esempi.

21/12/2023: Quartili, ventili, percentili. Quantili di ordine alpha, con 0<alpha<1. Indici statistici di dispersione. Varianza, scarto quadratico medio (o deviazione standard), scarto interquartile, range o intervallo di variazione. Esempi di calcolo di indici.

22/12/2023: Rappresentazioni grafiche di dati: grafico a bastoncini, istogramma di frequenze, grafico poligonale, diagramma a torta, box-plot. Campioni di dati approssimativamente normali.

08/01/2024: Introduzione alle distribuzioni a due caratteri. Diagramma a dispersione. Correlazione tra variabili. Indice di covarianza. Indice di correlazione lineare. Retta dei minimi quadrati o retta di regressione. Formula della retta di regressione.

09/01/2024: Esercizi sulla retta di regressione.

11/01/2024: Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Esempi ed esercizi. Introduzione alla probabilità elementare. Definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista, assiomatica. Conseguenze degli assiomi.

12/01/2024: Probabilità condizionata. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie discrete. Valori di sintesi di una v.a. discreta: media o valore atteso, varianza, scarto quadratico medio.Funzione di distribuzione di una v.a. (solo definizione).

15/01/2024: Esempio di v.a. discreta: la variabile aleatoria di Bernoulli o distribuzione binomiale. Variabili aleatorie continue. Densità di probabilità di una variabile aleatoria continua e sue proprietà.  Media o valore atteso di una v.a. continua.

18/01/2024: Esempio di variabile aleatoria continua: la distribuzione normale. Proprietà della funzione gaussiana. Variabile aleatoria nornale standard. Tavole della distribuzione normale standard e loro uso.

19/01/2024: Esercitazione di riepilogo sulla statistica.