Diario delle lezioni a.a. 2019/20

Corso di Matematica ed Elementi di Statistica 2019 - LT Scienze della Natura

Docente: Annunziata Loiudice

30/09/2019: Presentazione del corso. Richiami di linguaggio insiemistico. Insiemi e loro rappresentazione. Relazione di appartenenza e di inclusione. Operazione tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare, prodotto cartesiano. Cardinalità del prodotto cartesiano.

1/10/2019: Cenni di logica elementare. Proposizioni logiche. Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, equivalenza, implicazione. Predicati e quantificatori. Dimostrazioni in Matematica: dimostrazioni dirette e indirette.

3/10/2019: Dimostrazioni dirette e indirette (completamento): la dimostrazione per assurdo. Gli insiemi numerici N, Z, Q, R. Teorema (dim.): irrazionalità di radice di 2. Rappresentazione geometrica dei numeri. La retta reale. Rappresentazione decimale: allineamenti decimali finiti, infiniti periodici e non periodici.

4/10/2019: Approssimazione: troncamento ed arrotondamento. Notazione scientifica e ordine di grandezza. Percentuali. Intervalli di R e loro notazione: intervalli chiusi, aperti, limitati, illimitati. Esercizi di riepilogo.

7/10/2019: Richiami di geometria analitica: Il piano cartesiano. Equazioni delle rette parallele agli assi. Equazione della generica retta. Coefficiente angolare. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità. Distanza tra due punti. Equazione della circonferenza.

8/10/2019: Equazione della parabola. Asse e vertice della parabola. Disequazioni algebriche. Disequazioni di secondo grado.

10/10/2019: Esercizi sulle disequazioni di secondo grado. Disequazioni di tipo prodotto e quoziente. Sistemi di disequazioni.

11/10/2019: Disequazioni elementari con la funzione potenza. Disequazioni di grado superiore. Valore assoluto e sue proprietà. Disequazioni col valore assoluto(1h). Il concetto di funzione. Dominio, insieme di arrivo, immagine (o codominio). Immagini e controimmagini di insiemi (1h).

14/10/2019: Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Invertibilità e funzione inversa. Calcolo e grafico dell'inversa. Composizione tra funzioni. Dominio della funzione composta. Funzioni reali di variabile reale. Esempi di curve del piano che non sono grafici di funzione.

15/10/2019: Proprietà qualitative delle funzioni. Monotonia: funzioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti. Monotonia e invertibilità. Simmetria: funzioni pari, dispari. Periodicità. Limitatezza. Insiemi limitati: maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di un insieme. Esistenza dell'estremo superiore in R. Funzioni limitate. Inf e sup, max e min di una funzione.

17/10/2019: Funzioni elementari e loro grafici. Funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzioni quadratiche, funzione reciproco, funzione parte intera e mantissa. Funzione potenza ad esponente intero. Funzione radice n-esima. Funzione potenza ad esponente frazionario, potenza ad esponente reale.

18/10/2019: Disequazioni elemantari con la funzione potenza e radice. Disequazioni irrazionali più generali. La funzione esponenziale. La funzione logaritmo.

21/10/2019: Grafico della funzione logaritmo. Proprietà algebriche dei logaritmi. Applicazioni dei logaritmi: il pH di una sostanza. Disequazioni esponenziali e logaritmiche.

22/10/2019: Cenni di trigonometria. Misura dell'ampiezza di un angolo in radianti. Seno e coseno di un angolo e relative proprietà. Grafici delle funzioni seno e coseno. Tangente di un angolo.

24/10/2019: Grafico della funzione tangente. Equazioni e disequazioni elementari con le funzioni seno, coseno e tangente. Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente;  proprietà e relativi grafici.

25/10/2019: Trigonometria (completamento): applicazione alla risoluzione dei triangoli. Esercizi su determinazione di dominio, zeri, segno di funzioni.

28/10/2019: Trasformazioni di grafici: traslazioni verticali e orizzontali, dilatazioni e compressioni verticali e orizzontali, riflessioni rispetto agli assi; composizioni col valore assoluto. Esercizi.

 31/10/2019: Introduzione al concetto di limite. Intorno di un punto. Punti di accumulazione di un insieme.Definizione di limite. Limiti finiti e infiniti. Limite destro e limite sinistro. Limiti delle funzioni elementari.

4/11/2019: Teoremi sui limiti: Teorema dell'Unicità del limite (dim.); Teorema della permanenza del segno (dim.); Teorema dei carabinieri (dim.). Limite della somma, differenza, prodotto, quoziente di funzioni. Aritmetizzazione dell'infinito. Forme indeterminate. Teorema sul limite della funzione composta (solo enunciato).

5/11/2019: Limiti delle funzioni polinomiali. Limiti delle funzioni razionali fratte. Limiti delle funzioni irrazionali. Prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata.

7/11/2019: Limiti notevoli (1h). Tutorato: full immersion di preparazione al primo esonero.

8/11/2019: Funzioni asintoticamente equivalenti e principi di sostituzione. Gerarchi degli infiniti e degli infinitesimi. Esercizi.

11/11/2019: Asintoti di una funzione: verticali, orizzontali, obliqui. Esercizi sulla ricerca degli asintoti (1h). Introduzione alle successioni: definizione e notazioni (1h).

14/11/2019: Esercizi di riepilogo per il primo esonero.

15/11/2019: Successioni (completamento): Limite di successioni. Successioni convergenti, divergenti, non regolari. Esempi. Successioni monotone. Successioni limitate. Teorema di regolarità delle successioni monotone (solo enunciato). Definizione del numero di Nepero e.

18/11/2019: Definizione di funzione continua in un punto e in un insieme. Algebra delle funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione composta. Tipi di discontinuità: eliminabile, di salto o di prima specie, di seconda specie. Teoremi sulle funzioni continue (solo enunciati): Teorema sulla permanenza del segno, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Teorema di esistenza dei valori intermedi.

19/11/2019: Il concetto di derivata. Significato geometrico di derivata. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della somma, prodotto, quoziente di funzioni. Derivata della funzione composta.

21/11/2019: Derivata destra e sinistra. Relazione tra continuità e derivabilità. Punti di non derivabilità: punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi. Esercizi sul calcolo delle derivate.

22/11/2019: Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim.), Teorema di Rolle (dim.), Teorema di Lagrange (dim.). Criterio di monotonia (dim.).

25/11/2019: Criterio di stretta monotonia. Criterio per la ricerca dei massimi e minimi relativi. Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Funzioni concave e convesse. Punti di flesso. Criterio di convessità. Criterio per la ricerca dei flessi. Teorema di de L'Hopital.

26/11/2019: Applicazioni del Teorema di de L'Hopital. Studio completo di funzioni.

28/11/2019: Studio di funzioni. Esercizi sulla continuità e derivabilità.

29/11/2019: Introduzione al concetto di integrale. Partizioni di un intervallo, somme inferiori e superiori relative ad una partizione, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, integrale definito. Integrabilità delle funzioni continue. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann. Proprietà dell'ntegrale definito e sua interpretazione geometrica. Media integrale.

2/12/2019: Teorema della media integrale. La funzione integrale. Primitive di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). Caratterizzazione delle primitive in un intervallo (dim.). Formula fondamentale del calcolo integrale (dim.). Integrale indefinito. Calcolo di integrali immediati.

3/12/2019: Calcolo di integrali "quasi"-immediati. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione di funzioni razionali con denominatore di secondo grado.

5/12/2019: Integrazione di funzioni razionali (completamento). Metodi di integrazione: per parti e per sostituzione. Calcolo di aree di regioni di piano.

6/12/2019: Integrali impropri (cenni). Integrali impropri di funzioni illimitate o su domini illimitati: definizione ed esempi. Integrale della funzione Gaussiana. Introduzione alla Statistica descrittiva. Caratteri (o variabili statistiche) qualitativi e quantitativi. Frequenza di un dato: assoluta, relativa, percentuale, cumulata. Tabelle di frequenze.

9/12/2019: Indici di posizione (o di tendenza centrale). La media: media aritmetica (semplice e ponderata); media geometrica; media armonica; media quadratica. La mediana.

10/12/2019: Quartili. Percentili. Quantili di ordine alpha. Moda. Indici di dispersione: varianza, scarto quadratico medio, scarto interquartile, range (o intervallo di variazione). Varianza e scarto quadratico medio campionari.

12/12/2019: Rappresentazioni grafiche di dati: diagramma a bastoncini, istogramma, grafico poligonale, diagramma a torta, box-plot. Campioni approssimativamente normali. Distribuzioni a due caratteri. Diagramma a dispersione e correlazione tra variabili.

13/12/2019: Regressione lineare: retta di regressione, coefficiente di correlazione lineare di Pearson. Esempi di applicazione.

16/12/2019: Cenni di calcolo combinatorio. Disposizioni semplici e con ripetizioni, permutazioni semplici e con ripetizioni, combinazioni. Esempi ed esercizi.

17/12/2019: Elementi di probabilità. Spazio campionario. Eventi aleatori. Definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista, assiomatica. Conseguenze degli assiomi: probabilità del complementare; probabilità dell'unione. Probabilità condizionata ed eventi indipendenti.

20/12/2019: Introduzione alle variabili aleatorie.

07/01/2020: Variabili aleatorie discrete. Media, varianza e scarto quadratico medio di una v.a. discreta. Variabile aleatoria di Bernoulli o binomiale. Variabili aleatorie continue. Densità di probabilità. Media, varianza e scarto quadratico medio di una v.a. continua. Funzione di distribuzione di una variabile aleatoria.

08/01/2020: Variabile aleatoria normale e normale standard. Tavole della funzione di distribuzione della normale standard. Esercizi sull'uso delle tavole. Quantili guassiani.