Programma di Analisi non Lineare

Anno accademico 2011-2012

Docente: Prof. Donato Fortunato

Finalità del corso

Molti problemi classici di geometria e di fisica matematica si traducono in equazioni differenziali non lineari. Si forniscono gli strumenti di analisi funzionale per ridurre (quando possibile) lo studio di tali equazioni ad un problema variazionale, cioè alla ricerca di punti critici di funzionali su opportuni spazi di Banach. L'esistenza di soluzioni per alcune classi di equazioni differenziali viene esaminata.

Programma

Spazi funzionali: Richiami sugli spazi C^k e L^p. Elementi di teoria delle distribuzioni. Spazi di Sobolev e loro proprietà: teoremi di densità, di immersione, disuguaglianza di Poincaré.

Problemi lineari: Elementi di teoria spettrale: spettro di operatori compatti e di operatori a risolvente compatto. Operatori simmetrici ed operatori autoaggiunti. Realizzazione autoaggiunta di Friederichs.

Realizzazioni autoaggiunte e studio delle relative proprietà spettrali per l'operatore di Laplace con dati al bordo di Dirichlet o di Neumann. Soluzioni deboli di problemi al contorno per equazioni ellittiche. Teoremi di regolarizzazione.

Calcolo differenziale su spazi di Banach. Differenziale di Fréchet, di Gateaux, teorema del differenziale totale. Proprietà ed esempi di funzionali differenziabili. Punti critici e punti di massimo o minimo locale. Convergenza debole e teorema di Weierstrass in spazi di Banach.

Problemi differenziali non lineari: Studio e proprietà dell'operatore di Nemytskii tra spazi di Sobolev. Soluzioni deboli e formulazione variazionale di alcuni problemi differenziali nonlineari: funzionale dell'energia relativo ad alcuni problemi al contorno per equazioni ellittiche nonlineari e funzionale dell'azione connesso allo studio di soluzioni periodiche per sistemi di equazioni differenziali non lineari aventi struttura variazionale. Esistenza di soluzioni deboli mediante il teorema di Weierstrass. Esempi.

Funzionali non limitati: equazioni differenziali connesse a funzionali non limitati. La condizione di Palais- Smale: esempi. Curve di massima pendenza e teorema di deformazione. 

Il teorema del passo montano ed applicazioni allo studio di funzionali non limitati.

Testi consigliati

1. R. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, Inc., New York, 1975
2. H. Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore
3. M. Struwe, Variational Methods; Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer-Verlag, New York, 1990