Laurea in Matematica (triennale)
AA 2011/2012
Prof. Donato Fortunato,
Esercitazioni: Dott. Lorenzo D’Ambrosio, Dott.ssa Sandra Lucente
Preliminari
Generalità sugli insiemi. Inclusione, unione, intersezione, complementare e prodotto cartesiano. Funzioni ingettive, surgettive. Funzioni composte, funzioni invertibili e loro inverse.
Relazioni d’ordine, massimo, minimo, minorante e maggiorante, estremo superiore ed estremo inferiore e loro proprietà caratteristiche. Numeri naturali N, interi Z, razionali Q e loro strutture. Principio di induzione. Binomio di Newton. Disuguaglianza di Bernoulli. Campi ordinati. Il campo ordinato completo dei numeri reali R e sue proprietà. Valore assoluto, struttura metrica e intervalli di R. Punti di accumulazione ed insiemi chiusi. Densità di Q e del suo complementare in R. R è archimedeo.
Funzioni limitate. Monotonia, simmetrie e periodicità di una funzione. Funzioni elementari e loro grafici. Operazioni elementari sui grafici di funzione. Disequazioni intere, razionali, irrazionali e trascendenti.
Limiti di funzioni
Limiti di funzioni e primi teoremi sui limiti. Limiti di funzioni monotone. Teorema: ogni funzione convergente in x0 è localmente limitata. Teorema della permanenza delle diseguaglianze. Teorema della convergenza obbligata e del confronto. Limiti delle funzioni elementari. Limiti notevoli. Infiniti e infinitesimi. Principio di eliminazione di termini trascurabili.
Funzioni continue
Funzioni continue e loro proprietà elementari. Teorema di Weierstrass. Teorema di Bolzano. Esistenza della radice ennesima e del logaritmo di numeri reali. Corollario: ogni funzione continua manda intervalli in intervalli. Uniforme continuità e teorema di Cantor. Funzioni lipschtziane. Continuità dell’inversa di una funzione continua f : A → R con A intervallo oppure A chiuso e limitato.
Calcolo differenziale
Derivata di una funzione di variabile reale. Esempi di natura geometrica e cinematica. Primi teoremi sulle funzioni derivabili, continuità delle funzioni derivabili. Teorema sulla derivata di funzioni composte e della funzione inversa. Derivabilità delle funzioni elementari. Retta tangente ad un grafico. Punti di massimo e minimo locale, punti critici e teorema di Fermat. Proprietà delle funzioni derivabili in un intervallo: teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e corollari. Teorema di de l’Hospital.
Formula di Taylor col resto di Peano, condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi o minimi locali. Sviluppi di Taylor per funzioni elementari.
Funzioni convesse e loro caratterizzazione. Studio del grafico di una funzione.
Calcolo integrale
Teoria dell’integrazione secondo Riemann di funzioni di variabile reale. Plurirettangoli. Area del rettangoloide.
Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Proprietà dell’ integrale di Riemann e teorema della media. Integrale definito e funzioni integrali. Primitive ed integrale indefinito. Teorema di esistenza di primitive di funzioni continue e teorema fondamentale del calcolo integrale. Prime applicazioni del teorema fondamentale del calcolo integrale a problemi di geometria e di meccanica.
Integrali generalizzati: integrazione di una funzione su una semiretta, o di una funzione illimitata su un intervallo limitato. Principio del confronto. Convergenza e assoluta convergenza. La funzione Γ di Eulero.
Successioni numeriche
Successioni regolari e loro limiti. Operazioni con successioni regolari e loro limiti. Legami tra i limiti delle funzioni e limiti delle successioni. Ogni successione convergente è limitata. Teorema della conservazione delle disuguaglianze per successioni. Teorema della convergenza obbligata e di confronto per successioni. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il numero di Nepero come limite della successione (1 + 1/n)n. Successioni estratte da una successione. Teorema sul limite delle successioni estratte. Massimo e minimo limite di una successione e loro proprietà caratteristiche. Valori di aderenza di una successione. Teorema: il massimo (risp. il minimo) limite diuna successione è il più grande (risp. il più piccolo) valore di aderenza della successione. Teorema di Bolzano-Weierstrass: da ogni successione numerica limitata si può estrarre una convergente. Caratterizzazione degli insiemi compatti di R. Successioni di Cauchy, criterio di convergenza di Cauchy. Criterio del rapporto per limiti di successioni. Criteri di Cesaro (media aritmetica e geometrica, radice ennesima).
Funzioni semicontinue inferiormente.
Serie numeriche
Successioni definite per ricorrenza. Definizione e prime generalità sulle serie. La serie di Mengoli. Le serie telescopiche. La serie geometrica. Applicazione alla rappresentazione decimale. La serie armonica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Criterio di Cauchy per serie. Il carattere di una serie non cambia alterandone un numero finito di termini. Serie a termini non negativi. Criteri di confronto. Criterio del confronto asintotico. La serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Criterio della radice, criterio del rapporto.
Serie assolutamente convergenti. Serie a segno alterno. Criterio di Leibnitz per le serie a segno alterno. La serie armonica a segno alterno. Il criterio dell’integrale. Il prodotto alla Cauchy di due serie (cenni). Riordinamenti di serie assolutamente convergenti. Relazione tra gli sviluppi di Taylor e la somma di una serie (cenni).
Testi consigliati:
- M. Troisi, Analisi Matematica, Liguori Editore
- E. Acerbi, G. Buttazzo, Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editore
- P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, vol. I Parte 1, Parte 2, Liguori Editore
- A. Alvino, L. Carbone, G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica I/1,2, Liguori Editore
