Diario delle lezioni a.a. 2022/23

3/10/2022: Presentazione del corso. Richiami di linguaggio insiemistico. Insiemi e loro rappresentazione. Relazione di appartenenza e di inclusione. Operazione tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare.

4/10/2022: Insiemistica (completamento): Prodotto cartesiano. Cardinalità del prodotto cartesiano.  Cenni di logica elementare. Proposizioni logiche. Connettivi logici: negazione, congiunzione, disgiunzione, equivalenza, implicazione. Predicati e quantificatori.

6/10/2022: Dimostrazioni in Matematica. Dimostrazioni dirette e indirette. La dimostrazione per assurdo. Insiemi numerici: insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, reali. Teorema sulla irrazionalità di radice di 2. Rappresentazione decimale dei numeri. Rappresentazione geometrica dei numeri.

7/10/2022: La retta reale. Intervalli di R: chiusi, aperti, limitati, illimitati. Esercizi. Notazione scientifica. Errori di misura: errore assoluto, relativo, percentuale.

10/10/2022: Richiami di geometria analitica. Il piano cartesiano. Equazione delle rette parallele agli assi. Equazione di una generica retta in forma esplicita ed implicita. Coefficiente angolare. Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra rette.

11/10/2022: Distanza tra due punti del piano cartesiano. Equazione della circonferenza. Esempi ed esercizi. La parabola. Asse e vertice della parabola. Equazione della parabola con asse parallelo all'asse y.

13/10/2022: Parabola (completamento). Proprietà, esempi, esercizi. Richiami sulle disequazioni di secondo grado. Disequazioni prodotto e quoziente. Sistemi di disequazioni.

17/10/2022: Valore assoluto. Disequazioni col valore assoluto. Il concetto di funzione. Dominio e immagine di una funzione. Immagini e controimmagini di punti e di insiemi.

18/10/2022: Funzioni iniettive e suriettive. Invertibilità e funzione inversa. Composizione tra funzioni. Dominio della funzione composta. Esempi. Grafico di una funzione. Esercizi grafici su iniettività e suriettività.

20/10/2022: Calcolo della funzione inversa. Grafico della funzione inversa. Proprietà qualitative delle funzioni reali di variabile reale. Monotonia: funzioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti.

21/10/2022: Relazione tra monotonia e invertibilità. Proprietà di simmetria delle funzioni: simmetria pari e dispari. Periodicità. Prime funzioni elementari: funzioni lineari, funzioni quadratiche, funzione valore assoluto, funzione reciproco, funzione parte intera e mantissa.

24/10/2022: Insiemi limitati e completamento proprietà di R. Insiemi limitati inferiormente, superiormente. Maggioranti, minoranti. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore in R. Funzioni limitate, sup e inf, max e min di una funzione.

25/10/2022: Funzione potenza ad esponente intero, frazionario, reale: definizioni, proprietà e relativi grafici.

27/10/2022: Disequazioni elementari con le funzioni potenza e radice. Disequazioni irrazionali più generali.

28/10/2022: La funzione esponenziale: proprietà e grafici. La funzione logaritmo: proprietà e grafici. Proprietà algebriche dei logaritmi. Disequazioni esponenziali e logaritmiche elementari.

3/11/2022: Applicazioni dei logaritmi. Esercizi sulla determinazione di dominio, zeri e segno di una funzione.

7/11/2022: Trasformazioni di grafici: traslazioni verticali e orizzontali, dilatazioni e compressioni verticali e orizzontali, riflessioni rispetto agli assi, composizioni con il valore assoluto.

8/11/2022: Richiami di trigonometria. Nozione di angolo e sua misura. Definizione di seno e coseno di un angolo. Relazione fondamentale della trigonometria. Funzioni seno e coseno: proprietà e grafici.

10/11/2022: Formule di addizione e sottrazione per seno e coseno, formule di duplicazione. Definizione di tangente di un angolo. Funzione tangente: proprietà e grafico. Equazioni elementari con le funzioni seno, coseno, tangente.

11/11/2022: Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Proprietà e relativi grafici. Disequazioni elementari con le funzioni trigonometriche.

14/11/2022: Esercizi di riepilogo su percentuali e disequazioni. Applicazione della trigonometria alla risoluzione dei triangoli: teoremi sui triangoli rettangoli, teorema dei seni, teorema di Carnot.

15/11/2022: Introduzione del concetto di limite di funzione. Intorno di un punto. Punto di accumulazione. Definizione di limite.

17/11/2022: Limite destro e limite sinistro. Limiti delle funzioni elementari. Algebra dei limiti: limiti della somma, differenza, prodotto, quoziente di funzioni. Aritmetizzazione del simbolo infinito. Forme indeterminate.

18/11/2022: Calcolo del limite. Limite di funzioni polinomiali, di funzioni razionali fratte. Limiti di funzioni irrazionali. Prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata. 

21/11/2022: Limiti notevoli. Funzioni asintoticamente equivalenti e relativo principio di sostituzione nei limiti. Esercizi di riepilogo.

22/11/2022: Gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi. Esercizi relativi. Completamento della teoria sui limiti. Teoremi sui limiti: Teorema di unicità del limite (dim.), Teorema della permanenza del segno (dim.), Teorema dei carabinieri (dim.).

24/11/2022: Asintoti di una funzione: verticali, orizzontali, obliqui: definizioni, esempi ed esercizi.

25/11/2022: Successioni. Limite di successioni. Successioni convergenti, divergenti, non regolari. Successioni monotone. Successioni limitate. Teorema sulla regolarità delle successioni monotone (enunciato).

28/11/2022: Definizione del numero di Nepero e. Introduzione al concetto di continuità. Definizione di funzione continua in un punto e in un insieme. Algebra delle funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Discontinuità (eliminabili, di salto o prima specie, di seconda specie). 

29/11/2022:(Prima parte): Teoremi sulle funzioni continue (solo enunciati): continuità della funzione composta, permanenza del segno per funzioni continue, Teorema degli zeri o di Bolzano, Teorema di Weierstrass. Funzioni derivabili e definizione di derivata. Significato geometrico di derivata. (Seconda parte): Derivata delle funzioni elementari. Derivata destra e sinistra. Punti di non derivabilità (punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale).

1/12/2022: Regole di derivazione: derivata della somma, prodotto, quoziente di funzioni. Derivata della funzione composta. Esercizi. Massimi e minimi relativi. Teoremi sul calcolo differenziale: Teorema di Fermat (dim.)

5/12/2022: Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange (dim.). Criterio di monotonia (dim.). Criterio di stretta monotonia (solo enunciato).

6/12/2022: Criterio per la ricerca dei massimi e minimi relativi: condizioni necessarie e sufficienti. Convessità e concavità. Flessi. Derivate successive. Criterio di convessità. Studio di funzione completo. Esercizi.

12/12/2022: Esercizi su studio di funzione. Esercizi su continuità e derivabilità.

13/12/2022: Introduzione agli integrali. Partizione di un intervallo, somme integrali inferiori e superiori rispetto ad una partizione. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e integrale definito. Integrabilità delle funzioni continue (solo enunciato). Interpretazione geometrica dell'integrale definito. Proprietà dell'integrale: additività rispetto all'intervallo, linearità dell'integrale, proprietà di confronto.

19/12/2022: Media integrale. Teorema della media integrale (dim.). Premessa: Teorema dei valori intermedi per funzioni continue (solo enunciato). Primitive di una funzione. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). Teorema di caratterizzazione delle primitive in un intervallo (dim.). Formula fondamentale del calcolo integrale (dim.).  Integrale indefinito. Integrali immediati.

22/12/2022: Integrali "quasi-immediati". Integrali per decomposizione in somma. Integrali di funzioni razionali fratte con denominatore di secondo grado.

09/01/2023: Completamento integrali di funzioni razionali fratte. Metodo di integrazione per parti. Metodo di integrazione per sostituzione. Integrali impropri (cenni).

10/01/2023: Integrali impropri: completamento. Introduzione alla statistica. Statistica descrittiva e statistica inferenziale. Popolazione statistica, unità statistiche, caratteri (o variabili statistiche) quantitativi e qualitativi.

12/01/2023: Frequenze assolute, relative, percentuali, cumulate. Indici statistici di posizione o tendenza centrale: media, moda mediana. Tipi di medie: media aritmetica (semplice e ponderata), media geometrica, media armonica, media quadratica. Esempi.

13/01/2023: Quartili, ventili, percentili. Quantili di ordine alpha, con 0<alpha<1. Indici statistici di dispersione. Varianza, scarto quadratico medio (o deviazione standard), scarto interquartile, range o intervallo di variazione. Esempi di calcolo di indici.

16/01/2023: Rappresentazioni grafiche di dati: grafico a bastoncini, istogramma di frequenze, grafico poligonale, diagramma a torta, box-plot. Campioni di dati approssimativamente normali. Varianza e deviazione standard campionarie. Introduzione alle distribuzioni a due caratteri. Diagramma a dispersione.

17/01/2023: Correlazione tra variabili. Indice di covarianza. Indice di correlazione lineare. Retta dei minimi quadrati o retta di regressione. Formula della retta di regressione.

18/01/2023: Esercizio sulla retta di regressione. Cenni di calcolo combinatorio: disposizioni (semplici e con ripetizione), permutazioni, combinazioni. Esercizi.

19/01/2023: Cenni di probabilità elementare. Definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista,  assiomatica. Conseguenze degli assiomi: probabilità del complementare , probabilità dell'unione. Probabilità condizionata ed eventi indipendenti. Variabili aleatorie discrete. Valore atteso, varianza e scarto quadratico medio di una v.a. discreta. Esempio della variabile aleatoria di Bernoulli o distribuzione binomiale.

20/01/2023: Variabili aleatorie continue. Densità di probabilità di una v.a. continua e sue proprietà. Esempio di v.a. continua: la v.a. normale o distribuzione normale. La distribuzione normale standard. Funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Tavole della distribuzione normale. Esercizi.