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Analisi Matematica (corso B) - Laurea triennale in Informatica - Programma A.A. 2017/18

 

 

Insiemi numerici, numeri reali

Richiami di teoria degli insiemi: nozione di insieme, appartenenza, uguaglianza, inclusione, insieme vuoto. Operazioni tra insiemi: unione intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Gli insiemi numerici. Allineamenti decimali. Logica elementare: predicati e proposizioni, dimostrazioni e controesempi, negazioni e dimostrazioni indirette. Proprietà algebriche dei numeri reali. Proprietà dell'ordinamento dei numeri reali. Proprietà di completezza dell'insieme dei numeri reali. Intervalli. Estremi di un insieme numerico: maggioranti, minoranti massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore. Insiemi limitati. Teorema di esistenza dell'estremo superiore (con dimostarzione) Radice n-esima. Valore assoluto. Radici, potenze, logaritmi.

Funzioni di una variabile

Il concetto di funzione: dominio, immagine, grafico. Funzioni ingettive e surgettive. Funzioni invertibili, funzioni inverse. Funzioni composte. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni limitate. Funzioni simmetriche. Funzioni monotone. Invertibilità delle funzioni strettamente monotone (con dimostrazione). Funzioni elementari: funzioni lineari, funzione valore assoluto, funzioni potenze e radici, potenze ad esponente reale, funzioni esponenziali e funzioni logaritmo. Funzioni periodiche, funzioni trigonometriche. Funzioni trigonometriche inverse. Operazioni con i grafici, polinomi quadratici. Disequazioni relative alle funzioni elementari.

Successioni e loro limiti

Definizione di successione. Successioni convergenti e loro limitatezza (con dimostrazione). Successioni divergenti, successioni irregolari. Infinitesimi e infiniti. Successioni monotone, teorema di monotonia. Calcolo dei limiti: algebra dei limiti, teoremi della permanenza del segno (con dimostrazione), teorema di confronto e corollario (con dimostrazione). Forme di indecisione. Il numero di Nepero. Confronti e stime asintotiche. Gerarchia degli infiniti. Successioni definite per ricorrenza, definizione e studio.

Limiti di funzioni e funzioni continue

Limiti di funzioni: definizione successionale di limite. Limite destro e limite sinistro. Asintoti. Continuità di una funzione reale. Punti di discontinuità a salto. Continuità delle funzioni elementari. Limiti di funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Intorni e proprietà verificate definitivamente da una funzione. Calcolo dei limiti: teorema del confronto, teoremi della permanenza del segno. Algebra dei limiti e delle funzioni continue. Forme di indecisione. Teorema del cambio di variabile nel limite e di continuità della funzione composta. Limiti notevoli, confronti e stime asintotiche. Proprietà globali delle funzioni continue o monotone. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza dei valori intermedi (con dimostrazione). Monotonia e invertibilità.

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Derivata di una funzione. Derivata e retta tangente. Derivate delle funzioni elementari. Derivate successive. Derivata destra e derivata sinistra, flessi a tangente verticale, punti angolosi, cuspidi. Continuità delle funzioni derivabili (con dimostrazione). Regole di calcolo delle derivate: derivate e operazioni algebriche, derivata di una funzione composta, derivata di una funzione inversa. Punti stazionari, massimi e minimi locali. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teorema di Lagrange (con dimostrazione). Test di monotonia (con dimostrazione). Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla (con dimostrazione). Studio dei massimi e minimi di una funzione. Teorema di de l'Hospital. Limite della derivata e derivabilità. Derivata seconda. Significato geometrico della derivata seconda. Derivata seconda, concavità e convessità. Punti di flesso. Studio qualitativo del grafico di una funzione. Differenziabilità e approssimazione lineare. Equivalenza tra differenziabilità e derivabilità (con dimostrazione). Il simbolo di "o piccolo" e di "o grande". Approssimazione locale di una funzione tramite polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano (con dimostrazione) e di Lagrange.

Serie numeriche

Definizione e primi esempi. Serie geometrica e sua convergenza (con dimostrazione), serie telescopiche, serie armonica. Divergenza della serie armonica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie (con dimostrazione). Resto n-esimo di una serie e sua convergenza. Serie a termini non negativi e loro criteri di convergenza: criterio del confronto (con dimostrazione), criterio del confronto asintotico (con dimostrazione), criterio della radice, criterio del rapporto. Serie a termini di segno variabile. Convergenza assoluta. Teorema sulla convergenza assoluta. Serie con termini a segno alterno, criterio di Leibniz. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema sul raggio di convergenza. Caratterizzazione del raggio di convergenza. Serie di Taylor.

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

L'integrale come limite di somme. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell'integrale: additività, linearità, positività e monotonia. Teorema della media (con dimostrazione). Nozione di primitiva. Proprietà delle primitive (con dimostrazione). Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Integrale indefinito. Funzioni integrali e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, integrazione per scomposizione, integrazione per sostituzione (con dimostrazione), integrazione per parti (con dimostrazione). Integrazione delle funzioni razionali. Integrali generalizzati: integrazione di funzioni non limitate e integrazione su intervalli illimitati. Convergenza della serie armonica tramite integrali generalizzati (con dimostrazione). Criteri di integrabilità al finito e all'infinito.

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