Equazioni alle derivate parziali. Ordine di un'equazione alle derivate parziali. Operatori differenziali: gradiente, divergenza e laplaciano. Esempi di equazioni alle derivate parziali. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali. Equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche. Classificazione alternativa: equazioni stazionarie e di evoluzione.
Equazioni Ellittiche.L'equazione di Laplace. Funzioni armoniche e principio del massimo. Derivazione numerica. Approssimazione delle derivate prima e seconda tramite differenze finite. Approssimazione alle differenze centrali, in avanti e all'indietro. Metodo a 5 punti per l'equazione di Laplace. Ordinamento delle incognite. Ordinamento Lessicografico, di Cuthill-McKee, Red-Black, Multicolore. Equazione di Laplace su domini irregolari. Il caso del dominio circolare. Approssimazione della derivata seconda su griglie non equidistanti. L'equazione ellittica lineare generale. Il metodo upwind per equazioni ellittiche.
Equazioni Paraboliche.Equazioni di evoluzione. L'equazione di Schröedinger. L'equazione del calore. Il problema ai valori iniziali. Il problema ai valori al contorno. Il metodo di Eulero per l'equazione del calore. La costante di Courant. L'equazione parabolica lineare. Metodo alle differenze centrali esplicito. Il metodo upwind esplicito. Metodi numerici per equazioni paraboliche semilineari. Metodo alle differenze centrali, upwind esplicito, alle differenze centrali implicito. Il metodo upwind implicito. Il metodo di Crank-Nicolson.
Equazioni Iperboliche.L'equazione d'onda. Il problema di Cauchy. Il problema ai valori iniziali e al contorno. La formula di D'Alembert. Un metodo esplicito per l'equazione d'onda. Condizione di Courant, Friedrichs e Lewy. Dominio di dipendenza. Il metodo di Lax-Wendroff.
Metodi iterativi per sistemi sparsi e di grandi dimensioni.Il metodo di Jacobi. Il metodo di Gauss-Seidel. Il metodo del Rilassamento. Convergenza dei metodi iterativi. Teoria dello splitting. Matrici convergenti e relativa caratterizzazione. Matrici a predominanza diagonale. Metodi di tipo gradiente. Il metodo di più ripida discesa. Cenno al metodo del gradiente coniugato.
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