Matematica Discreta 2014/2015 (M-Z)

Corso di Laurea in Informatica.

Inizio lezioni 13 Ottobre 2014, orario 9:00-13:00. Aula A, piano terra, Informatica.

Orario lezioni Martedi e Giovedi 9:00-13:00. Venerdi lezione 11-13.

Fine lezioni 19 dicembre 2014.

Programma PROVVISORIO del corso

(Il programma deifnitivo sara' l'unione degli argomenti elencati nel Diario delle Lezioni)

Ricevimento

Se non e' fissata una data, il docente riceve solo su appuntamento da concordare via mail. Prossimi Ricevimenti: Givoedi 17 Settembre ore 9:30-11:00, Giovedi 24 Settembre ore 9:30-11:00.

Tutorato:

E' stato attivato un servizio di tutoraggio per i corsi di Matematica ad Informatica. Per maggiori informazioni consultare la pagina web o contattare la Prof. Lanza.

Ricevimento tutor Settembre

E' stato attivato un tutorato per il corso, svolto dal Dott. Vincenzo Saltarelli. I prossimi incontri saranno: Lunedì 7 settembre, ore 9:30-12:30 (esercitazione, Aula Godel). Martedì 8 settembre, ore 10-11 (ricevimento, Aula Hume II piano). Venerdì 11 settembre, ore 10:30-12:30 (svolgimento traccia del 10 Settembre, Aula Godel). L' orario del mese di Settembre. L' orario del mese di Settembre-Ottobre.

Esami:

La prenotazione agli appelli E' OBBLIGATORIA mediante il sistema ESSE3 nei tempi stabiliti. NON si accettano prenotazioni via mail, ne tantomeno prenotazioni dopo i termini stabiliti. Portare obbligatoriamente un documento di validita', una penna e se serve una calcolatrice (non si puo' usare quella del cellulare). La durata della prova e' 2 ore. E' sconsigliata vivamente la partecipazione all' esame a chi non ha studiato (NON si viene a vedere come e' ne tantomeno a tentarlo).

Gli studenti degli anni precedenti (Canale M-Z), possono sotenere l'esame secondo le nuove modalita' oppure, per gli appelli di Gennaio-Febbraio possono sostenere l'esame secondo le modalita' del Prof. Nardozza. In tal caso, DEVONO comunque iscriversi su Esse3 al'appello di Matematica Discreta (Canale M-Z) E SPEDIRE una mail a me e al Prof. Nardozza.

Gli studenti che hanno superato la prova e vogliono accettare il voto, devono farlo entro i termini stabiliti su Esse3. Chi non accetta il voto puo' ripetere la prova in uno qualsiasi degli appelli successivi, perdendo ovviamente la prova precedente (questo vale per chi non accetta il voto per proprio volere, per errore, per dimenticanza, perche' non sa usare Esse3, etc. ).

  • Studenti ammessi all'esame del 10 Settembre 2015, ore 9.30 Aula 4, palazzo delle Aule.
  • I risultati dell'appello del 10 Settembre 2015, verranno pubblicati sulla pagina Risultati Esami. entro Martedi 15 Settembre 2015. Gli studenti possono visionare gli elaborati Mercoledi 16 Settembre 2015, dalle ore 9.30 alle ore 11 in Aula VII, piano terra Dipartimento di Matematica. Gli esiti saranno inseriti su Esse 3 Mercoledi 16 Settembre 2015. Gli studenti che hanno superato la prova e vogliono accettare il voto, devono farlo entro Domenica 20 Settembre 2015.

  • Regole e faq.
  • aggiorante il 4 Febbraio 2015

  • Risultati Esami.
  • Testi consigliati

    Per la preparazione al corso va bene un qualsiasi libro che ricopra gli argomenti trattati. Alcuni libri che contengono tali argomenti sono:

    G.M. Piacentini Cattaneo:"Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI

    A. Facchini:"Algebra e Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI

    M.G. Bianchi, A. Gillio: "Introduzione alla Matematica Discreta", ed. McGRAW-HILL

    L. Di Martino, M.C. Tamburini: "Appunti di Algebra", ed. CLU

  • Appunti.
  • Esercizi

    Diario delle Lezioni

    • 14.10.20114 (4h) : Presentazione del corso, orario lezioni, libri di testo, programma, esami, regole di base. Teoria elementare degli INSIEMI. Tre descrizioni per un insieme: elenco elementi, proprieta' caratterizzante, diagrammi di Venn. Inclusione, inclusione propria, appartenenza, uguaglianza. Esempi ed Esercizi. Unione, Intersezione, Complementare, Differenza. Proprieta' e leggi di De Morgan (con dimostrazione). Insieme delle Parti, Prodotto cartesiano. Esempi ed Esercizi. Introduzione al linguaggio e simbolismo matematico: Quantificatori Ogni ed Esiste, Esiste ed unico. LOGICA: Definizione di proposizione. Esempi.
    • 16.10.20114 (+4h=8h): LOGICA: Definizione di proposizione, negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione. Equivalenza di proposizioni. Tavole di Verita'. Esempi ed Esercizi. FUNZIONI: Definizione di funzione, insieme di partenza e insieme di arrivo. Funzioni coincidenti. Funzione identita'. Funzioni costanti. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme. Esempi ed Esercizi. Proprieta' di immagine e controimmagine rispetto unione e intersezione.
    • 21.10.2014 (+4h=12h): FUNZIONI: Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione di funzione e proprieta'. Esempi ed esercizi. Dimostrazione che la composizioni di funzioni iniettive e' iniettiva, la composizioni di funzioni suriettive e' suriettiva, e che quindi la composizioni di funzioni biettive e' biettiva, Funzione inversa di funzioni biettive e proprieta'. Inversa della composizione di funzione, con dimostrazione. Esempi ed Esercizi.
    • 23.10.2014 (+4h=16h): CARDINALITA': Cardinalita' di un insieme. Insiemi Equipotenti. Insiemi finiti. Cardinalita' minore. Se insiemi stessa cardinalita' finita, allora funzione e' iniettiva se e solo se suriettiva (con dim.). Insiemi infiniti,difinizioni equivalenti. Insiemi numerabili. Numerabilita' dell'insime degli interi Z (con dim). PRINCIPIO di INDUZIONE: Principio di induzione e formulazioni equivalenti. Esempi e controesempi ed esercizi. Cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito (dim. usando il principio di induzione). Principio di induzione generalizzato. Esempi ed Esercizi.
    • 24.10.2014 (+2h=18h) Esercizi su insiemi: Dimostrazione leggi di de Morgan, e proprieta' della controiimagine. Esercizi di logica: Tabelle di verita' con tre proposizioni. Proposizioni logiche, vere, false e negazioni. Esercizi su funzioni.
    • 28.10.2014 (+4h=22h): SUCCESSIONI. Definizioni ed esempi. Successioni ricorsive ed esempi: numeri fattoriali, progressione aritmetica, progressione geometrica. Formula chiusa di successioni ricorsive. Esempi ed Esercizi. Numeri di Fibonacci: definizione ricorsiva come modellazione della popolazione di conigli, formula ricorsiva e formula chiusa (con dimostrazione). Torri di Hanoi: definizione come gioco, formula ricorsiva e formula chiusa (con dimostrazione). Simbolo di sommatoria e proprieta'. Esercizi ed esempi su principio di induzione.
    • 30.10.2014 (+4h=26): Cardinalita' dell'unione di insiemi finiti. Caso generale di insiemi disgiunti. Regola della somma. Caso generale con intersezioni non vuote per due e tre insiemi: Principio di inclusione-esclusione (con dimostrazione). Esempi ed applicazioni. Cardinalita' del prodotto di insiemi finiti. Regola del prodotto. Esempi ed applicazioni. COMBINATORIA: Disposizioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione, calcolo di D(n,k), esempi ed esercizi. D(n,k) calcola il numero di applicazioni iniettive da un insieme di cardinalita' k ad uno di cardinalita' n (con dim.). D(n,n)=n! come numero di ordinamenti di n oggetti (permutazioni). D(n,n) calcola il numero di applicazioni biettive tra insiemi di cardinalita' n (con dim.). Esercizi ed Esempi. Combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione e calcolo del coefficiente binomiale. Sottoinsiemi di cardinalita' k in un insieme di cardinalita' n. Proprieta'. Triangolo di Pascal o Tartaglia e legame con i coefficienti binomiali. Formula di Newton. Seconda dimostrazione della cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito, usando la formula di Newton.
    • 04.11.2014 (+4h=30): Ripasso: Regola della somma; Principio inclusione esclusione; regola del prodotto; Disposizioni semplici di n oggetti di classe k e combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Caso con ripetizioni. Definizioni di disposizioni con ripetizioni di n oggetti di classe k e calcolo esplicito. Cardinalita' dell'insieme di funzioni tra due insiemi finiti. Esempi e esercizi. Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Terza dimostrazione della cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito, usando le funzioni caratteristiche. Combinazioni con ripetizioni di n oggetti di classe k. Calcolo e dimostrazione. Esempi ed Esercizi. Esercizi su principio di induzione. RELAZIONI. Definizioni di relazione tra insiemi. Esempi. Relazione vuota, totale, associata ad una funzione. Relazione su un insieme, relazione identica.
    • 06.11.2014 (+4h=34): RELAZIONI. Proprieta' di una relazione: Riflessiva, Simmetrica, Antisimmetrica, Transitiva. Relazione di ordine parziale e insiemi parzialmente ordinati. Elementi confrontabili e insiemi totalmente ordinati. Esempi ed Esercizi. Relazioni di equivalenza. Definizione di classe di equivalenza ed esempi. Teorema sulle proprieta' delle classi di equivalenza (con dimostrazione). Esempi ed Esercizi. Esercizi su combinatoria
    • 06.11.2014 (+2h=36) Definizione di PARTIZIONE di un insieme; esempi. Teorema: ogni relazione di equivalenza definisce una partizione e ogni partizione definisce una relazione di equivalenza (senza dimostrazione). Insieme quoziente. Esempi ed Esercizi. Esercizi su relazioni di equivalenza, su anagrammi e combinatoria.
    • 11.11.2014 (+4h=40): NUMERI INTERI. Proprieta' dei numeri interi. Definizione di divisore e multiplo e proprieta'. Divisibilita' di ogni combinazione lineare. Teorema della divisione in Z: esistenza ed unicita' del quoziente e resto (senza dimostrazione). Esempi di divisioni con resto in tutti i casi. Definizione di un massimo comun divisore e definizione di MCD. Proprieta'. Esistenza del MCD e algoritmo di Euclide per la sua determinazione. Identita' di Bezout (con dimostrazione). Definizione di un minimo comune multiplo e di mcm. Proprieta'. Esempi ed Esercizi. Esercizi du relazioni di ordine e di equivalenza.
    • 13.11.2014 (+4h=44) NUMERI PRIMI. Definizione di numeri primi. Teorema Fondamentale dell'aritmetica: fattorizzazione in potenze di primi distinti (dimostrato esistenza fattorizzazione). Applicazione della fattorizzazione per trovare divisori di un numero intero: scrittura esplicita e calcolo di quanti sono i divisori. Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del MCD. Teorema esistenza infiniti numeri primi (con dimostrazione). Crivello di Eratostene. Metodi di Fattorizzazione: Metodo di Eratostene e Metodo di Fermat. EQUAZIONI DIOFANTEE: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una equazione diofantea (visto solo che sono soluzioni). Esempi ed Esercizi.
    • 14.11.2014 (+2h=46): Esercizio su relazioni di equivalenza: Relazione di equivalenza della congruenza modulo n, classi resto e descrizione del quoziente. Esercizi su principio di induzione.
    • Il 18, 20 e 21 Novembre: Pausa didattica, NON ci sono ne lezioni ne ricevimento.
    • 25.11.2014 (+4h=50) CONGRUENZE modulo n >1. Ripasso della definizione della relazione di congruenza: relazione di equivalenza, descrizione classi resto, descrizione quoziente. Descrizione di alcune proprieta': somma, moltiplicazione, divisione dei coefficienti, riduzione del modulo. Piccolo teorema di Fermat, con dimostrazione. Teorema di Fermat (enunciato). Per i pou' curiosi: un po' di storia del teorema e un link un po' meno matematico Definizione della funzione di Eulero. Teorema di Eulero Fermat (senza dimostrazione). Applicazione al calcolo di potenze modulo n. CONGRUENZE LINEARI: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una congruenza lineare (usando le equazioni diofantee), descrizione delle soluzioni non congruenti modulo n. Esempi ed Esercizi.
    • 27.11.2014 (+4h=54) Ripasso congruenze lineari SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI: definizione ed esempi. Teorema riduzione dei coefficiente dell'incognita ad 1, nel caso di esistenza di soluzione per ogni congruenza (con dimostrazione). Teorema Cinese dei Resti: esistenza ed unicita' della soluzione modulo N (dimostrazione dell'esistenza). Esempi ed Esercizi. Scrittura dei numeri in base n. Esempio in base 10,2 e 7. Criteri di divisibilita' per: 2,3,5,9. Sistema Crittografico RSA (R. Rivest, A. Shamir e L. Adleman): Definizione, crittografia a chiave pubblica ed esempi.
    • 28.11.2014 (+2h=56) STRUTTRE ALGEBRICHE: Definizione di struttura algebrica, operazione, operazione associativa, elemento neutro. Esempi. MONOIDI: definizione, esempi, monoide delle parole. Esercizi su sistemi di congruenze.
    • 02.12.2014: (+4=60) Ripasso definizione di Monoide. Monoidi commutativi e non commutativi, GRUPPI: definizioni, esempi, gruppi abeliani e non abeliani. Legge di cancellazioni nei gruppi con dimostrazione. Gruppi: scrittura moltiplicativa e scrittura additiva: potenze o multipli di un elemento. Relazioni di equivalenza compatibili con strutture algebriche. Teorema della struttura algebrica indotta sull'insieme quoziente (senza dimostrazione). Esempi fondamentali: relazione di congruenza modulo n (maggiore o uguale a 2) su Z compatibile sia con la somma che con il prodotto. Gruppi (Z_n,+) e monoide commutativo (Z_n, .). Tabelle per i gruppi finiti. Esempi e Esercizi. SOTTOGRUPPI: definizione. Esempi.
    • 04.12.2014: (+4=64) SOTTOGRUPPI: definizioni, teorema di caratterizzazione dei sottogruppi (senza dimostrazione). Esempi. Intersezione di sottogruppi e' un sottogruppo, l'unione in generale no. Esempi. Ordine di un gruppo: definizione ed esempi, ordine di un sottogruppo. Teorema di Lagrange (senza dimostrazione). Sottogruppo ciclico generato da un elemento. Periodo di un elemento. Proprieta' delle potenze di un elemento in relazione al suo ordine. Gruppi ciclici finiti ed infiniti: definizione ed esempi. Proprieta' dei gruppi ciclici: sono abeliani, i sottogruppi sono ciclici, ordine degli elementi nei gruppi ciclici finiti, generatori. Esempi ed Esercizi. Esempii in (Z_n,+). Proprieta' nei gruppi ciclici finiti: per ogni divisore h dell'ordine esiste un sottogruppo di ordine h. Esempi ed Esercizi. Monoide commutativo (Zn,.): definizione ed elementi invertibili. Gruppo abeliano: (Zp*,.) con p primo. Esempi ed Esercizi.
    • 05.12.2014. (+2h=66) Esempio di gruppo non cmmutativo: GRUPPO SIMMETRICO. Definizione di gruppo simmetrico, notazione degli elementi, e degli inversi e della composizione. Esempi. Esercizi su strutture algebriche associative, commutative, esistenza elemento neutro, esistenza inverso. Esercizi su gruppi moltiplicativi e generatori.
    • 09.12.2014. (+4h=70) GRUPPO SIMMETRICO. Definizione di ciclo. Ogni ciclo corriponde ad una permutazione. Ogni permutazione puo' scriversi come ciclo o prodotto di cicli disgiunti. Definizione di trasposizione. Ogni ciclo puo' essere scritto come prodotto di trasposizioni. Ogni permutazione puo' essere scritta come prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e dispari. Ordine di una permutazione. Esempi ed Esercizi. ANELLI: Definizione di anello, di anello unitario, di anello commutativo unitario. Esempi (Z,+,.),(Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Definizione di divisori dello zero e di elementi invertibili. Esempi in (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Se un elemento e' invertibile allora non e' un divisore dello zero (con dimostrazione). Negli anelli unitari finiti, ogni elemento o divisore dello zero o invertibile. Divisori dello zero ed invertibili in (Zn,+,.). CAMPI: definizione (K,+,.). Esempi: (Q,+,.), (R,+,.), (Zp,+,.) con p primo. Campo dei NUMERI COMPLESSI: definizione, sull 'insieme RxR e di . e + e verifica proprieta' di campo.
    • 11.12.2014. (+4h=74) Campo dei NUMERI COMPLESSI (C,+,.): Identificazione dei numeri reali con gli elementi (a,0). Definizione dell'unita' immaginaria i=(0,1). Forma algebrica dei numeri complessi. Definizione di coniugato e di modulo di un numero complesso. Forma algebrica dell'inverso. Proprieta' del coniugato e del modulo. Esempi ed Esercizi. MATRICI: Definizione di matrice e del gruppo abeliano (Mat_nxm(K), +) delle matrici di ordine nxm a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Esempi di matrici ed esempi di somma. Definizione della matrice IDENTITA' e di matrice TRASPOSTA. Prodotto Matrice per uno scalare. Definizione di matrici moltiplicabili. Definizione di PRODOTTO di MATRICI. Esempi ed esercizi. ANELLO delle MATRICI: (Mat_nxn(K), +, .) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Esempi di divisori dello zero nell'anello delle matrici (e quindi non e' un campo). Definizione di COMPLEMENTO ALGEBRICO di un elemento di una matrice. Definizione di DETERMINANTE (di una MATRICE QUADRATA). Esempi ed Esercizi sul calcolo di determinanti. MATRICE INVERTIBILE: Definizione di matrice invertibile. Teorema: una matrice quadrata a coefficienti in un campo K e' invertibile se e solo se il determinante e' non nullo (senza dimostrazione).
    • 12.12.2014. (+2h=76) Calcolo della MATRICE INVERSA, usando i complementi algebrici. Esempi ed Esercizi. Esercizi su gruppi di permutazione, anelli, numeri complessi.
    • 16.12.2014.(+4h=80) GRAFI: definizione di grafo, esempi. Definizione di grafo orientato, di multigrafo e di multigrafo orientato. Vertici adiacenti, lati incidenti. Disegno di un grafo. Isomorfismo di grafi. Grado o Valenza di un vertice. Formula che lega il numero dei lati ai gradi dei vertici (con dimostrazione). Numero di vertici dispari in un grafo (con dimostrazione). Definizione di cammino e circuito (o ciclo). Grafo connesso. Definizione di distanza tra vertici in un grafo connesso. Grafo completo. Definizione di cammino euleriano, definizione di circuito euleriano. Teorema di esistenza di circuiti euleriani. Teorema di esistenza di cammini euleriani. Definizone di cammino hamiltoniano. Grafi bipariti. Esempi grafi bipartiti completi. Definizione di ALBERI. Teorema di caratterizzazione degli alberi. Grafi PLANARI. Esempi grafi K5 e K3,3. Teoremi sui grafi planari. Esempi ed esercizi.
    • 18.12.2014. (+4h=84) RETICOLI: definizione di reticolo algebrico (R,^,V). Definizione di sottoreticolo. Esempio di reticolo dell'insieme delle parti di un insieme finito. Teorema sulle leggi di idempotenza (con dimostrazione). Teorema che lega V unione e ^ intersezione (con dimostrazione). Reticoli distributivi. Esistenza elemento neutro rispetto ad unione e intersezione. Complemento di un elemento. Teorema: nei reticoli distributivi con elementi neutri, se il complemento esiste e' unico. Definizione di reticolo di BOOLE. Legame tra reticoli ed insiemi parzialmente ordinati. Definizione di massimo e minimo, estremo inferiore ed estremo superiore in un insieme parzialmente ordinato. Esempi: numeri interi e naturali, con la relazione di minore o uguale, numeri naturali non nulli e relazione di divisibilita', insieme dei divisori di un intero n, per ogni n>1. Diagrammi di Hasse di un insieme parzialmente ordinato. Teorema: ogni insieme parzialmente ordinato che ammette sup e inf per ogni coppia di elementi e' un reticolo algebrico. Teorema: ogni reticolo algebrico e' un insieme parzialmente ordinato che amemtte sup e inf per ogni coppia di elementi. Relazione ta minimo e massimo ed elementi neutri. Esempi.
    • 19.12.2014. (+2h=86) Esercizi sui reticoli. Esempi di reticoli non distributivi: Reticolo trirettangolo M3, reticolo pentagonale N5. Teorema di caratterizzazione dei reticoli distributivi. Esercizi su: reticoli distributivi, reticoli di Boole, complementi di un elemento, reticoli dei divisori. THAT'S IT!
    • Primo appello fissato per il 26 gennaio 2014 Prenotazione obbligatoria su Esse 3.
    • Prima di presentarsi all'esame studiare attentamenete la pagina Regole e faq.
    • Il prossimo ricevimento sara' martedi 13 Gennaio 2015 dalle 15:00 alle 16:00, Dipartimento di Matematica, stanza 10, terzo piano.

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