Matematica Discreta 2012/2013

Inizio lezioni 01 Ottobre 2012, orario 9-13.

Programma PROVVISORIO del corso

(Il programma deifnitivo sara' l'unione degli argomenti elencati nel Diario delle Lezioni)

Il corso di Matematica discreta, e' di 9 CFU: sono stati amumentati i CFU per fare piu' esercizi, ma gli argomenti trattati e il programma sono rimasti invariati (o forse ridotti). Pertanto, gli studenti degli anni precedenti dovranno superare lo stesso tipo di esame che varra' 6 o 8 o 9 CFU a seconda del proprio piano di studio.

ESAMI

La prenotazione agli appelli E' OBBLIGATORIA mediante il sistema ESSE3 nei tempi richiesti, non si accettano prenotazioni via mail, ne tantomeno prenotazioni dopo i termini stabiliti. Portare obbligatoriamente un documento di validita' e una calcolatrice (non si puo' usare quella del cellulare). E' sconsigliata vivamente la partecipazione all' esame a chi non ha studiato (NON si viene a vedere come e' ne tantomeno a tentarlo).

ESERCIZI

Esercizi: alcuni assegnati a lezione, alcuni svolti e altri nuovi.

Esercizi 12 Ottobre 2012.

Esercizi 23 Ottobre 2012 (visti a lezione).

Esercizi 25 Ottobre 2012 (su logica, funzioni, principio di induzione, combinatoria e relazioni).

Esercizi 6 Novembre 2012 (su divisione, massimo comun divisore ed equazioni Diofantee).

Esercizi 8 Novembre 2012 (su funzione di Eulero, congruenze, congruenze lineari).

Esercizi 13 Novembre 2012 (su sistemi di congruenze e per la preparazione all esonero).

Esercizi 4 Dicembre 2012 (su strutture algebriche, gruppi di permutazioni, gruppi e anelli, numeri complessi).

Esercizi 6 Dicembre 2012 (su matrici).

Esercizi 11 Dicembre 2012 (su grafi).

Esercizi 18 Dicembre 2012 (simili ad una prova di esonero).

Esercizi di preparazione all'esonero: Secondo esonero del 2011.

Esercizi di preparazione all'esame: Tracce esame anno accademico 2011/2012 (con alcune linee guida per la soluzione) .

Esercizi di preparazione all'esame: (Esercizi sulle funzioni con modulo).

ESONERI:

ESONERO: 19 Novembre 2012 ore 9.30 Testi del primo esonero. Risultati dell'esonero.

Al secondo esonero potra' partecipare solo chi ha superato il primo. Il secondo esonero sara' il 19 Dicembre 2012. L'esonero si supera con la votazione minima di 18/30. Portare un documento di validita' e una calcolatrice (non si puo' usare quella del cellulare). Non serve prenotarsi. (Se non si supera il secondo esonero, bisogna fare l'esame normale). Testo del secondo esonero. Risultati dell'esonero e lista studenti esonerati.

Diario delle Lezioni

  • 01.10.2012(3h) : Presentazione del corso, libri di testo, programma, esami, esoneri, regole di base. Definizione di INSIEMI. Tre descrizioni per un insieme: elenco elementi, proprieta' caratterizzante, diagrammi di Venn. Unione, Intersezione, Complementare, Insieme delle Parti, cartesiano. Proprieta' e leggi di De Morgan. Esempi ed Esercizi. Introduzione al linguaggio e simbolismo matematico: Quantificatori Ogni ed Esiste, inclusione, incluione propria, appartenenza, uguaglianza. Esempi ed Esercizi.
  • 03.10.2012 (+4h=7h): Prodotto cartesiano. Esempi ed Esercizi. LOGICA: Definizione di proposzione, negazione, congiunzione, disgiunzione e implicazioni. Tavole di Verita'. Equivalenza di proposizioni. Esempi ed Esercizi. FUNZIONI: Definizione di funzione, dominio e codominio. Funzioni coincidenti. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme. Esempi ed Esercizi.
  • 08.10.2012 (+4h=11): FUNZIONI: Funzioni iniettive suriettive e biettive. Esempi ed esercizi. Composizione di funzione e proprieta'. Funzione inversa di funzioni biettive e proprieta'. Esempi ed Esercizi.
  • 10.10.2012 (+4h=15): Cardinalita' di un insieme. Insiemi Equipotenti. Insiemi finiti. Cardinalita' minore o uguale. Se insiemi stessa cardinalita' finita, allora funzione e' iniettiva se e solo se suriettiva (con dim.) Insiemi infiniti, insiemi numerabili. Numerabilita' dell'insime degli interi Z (con dim). Potenza del continuo. Esempi. Principio di induzione completa e formulazioni equivalenti. Esempi e controesempi ed esercizi. Cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito (dim. usando il principio di induzione). Esempi ed Esercizi.
  • 15.10.2012 (+4h=19): Principio di induzione generalizzato. SUCCESSIONI. Definizioni ed esempi. Simbolo di sommatoria e proprieta'. Successioni ricorsive ed esempi: numeri fattoriali, progressione aritmetica, progressione geometrica. Formula chiusa di successioni ricorsive. Esempi. Numeri di Fibonacci, definizione ricorsiva e come modellazione della popolazione di conigli. Formula ricorsiva e formula chiusa (con dimostrazione). Torri di Hanoi, definizione come gioco, formula ricorsiva e formula chiusa (con dimostrazione). Esercizi ed esempi (su logica e successioni e principio di induzione).
  • 15.10.2012(+2h=21 ): Esercizi di logica: Tabelle di verita' con tre proposizioni. Proposizioni logiche, vere, false e negazioni. Esercizi su insiemi: Dimostrazione delle leggi di de Morgan. Dimostrazione che l'immagine dell'unione di sottoinsiemi= unione immagini. Esercizi su funzioni: iniettivita', suriettivita', controimmagini, immagini, biettivita', inversa, composizione.
  • 17.10.2012 (+4h=25): Cardinalita' dell'unione di insiemi finiti. Caso generale di insiemi disgiunti. Regola della somma. Caso generale con intersezioni non vuote. Esempi ed applicazioni. Cardinalita' del prodotto di insiemi finiti. Regola del prodotto. Esempi ed applicazioni. COMBINATORIA: Disposizioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione, calcolo di D(n,k), esempi ed esercizi. D(n,k) calcola il numero di applicazioni iniettive da un insieme di cardinalita' k ad uno di cardinalita' n (con dim.). D(n,n)=n! come numero di ordinamenti di n oggetti. Permutazioni. D(n,n) calcola il numero di applicazioni biettive (con dim.). Esercizi ed Esempi. Combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Definizione e calcolo del coefficiente binomiale. Sottoinsiemi di cardinalita' k in un insieme di cardinalita' n. Proprieta'. Triangolo di Pascal o Tartaglia e legame con i coefficienti binomiali. Esempi ed Esercizi.
  • 22.10.2012 (+4h=29): Ripasso: Disposizioni semplici di n oggetti di classe k e combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Formula del binomio di Newton. Seconda dimostrazione della cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito, usando la formula di Newton.
  • Caso con ripetizioni. Definizioni di disposizioni con ripetizioni di n oggetti di classe k e calcolo esplicito. Cardinalita' dell'insieme di applicazioni tra due insiemi finiti. Esempi e esercizi. Combinazioni con ripetizioni di n oggetti di classe k (k minore o uguale ad n). Calcolo e dimostrazione. Funzione caratteristica di un sottoinsieme. Terza dimostrazione della cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito, usando le funzioni caratteristiche. Numero di applicazioni suriettive tra insiemi finiti. Esempi ed Esercizi. Correzione di esercizi.
  • 24.10.2012 (+4h=33): RELAZIONI. Definizioni di relazione tra insiemi. Esempi. Relazione vuota, totale, associata ad una funzione. Relazione su un insieme, relazione identica. Proprieta' di una relazione: Riflessiva, Simmetrica, Antisimmetrica, Transitiva. Relazione di ordine parziale e insiemi parzialmente ordinati. Relazione di ordine totale e insiemi totalmente ordinati. Esempi ed Esercizi. Relazioni di equivalenza. Esempi ed Esercizi.
  • 29.10.2012 (+4h=37): Relazioni di equivalenza. Definizione di classe di equivalenza ed esempi. Teorema sulle proprieta' delle classi di equivalenza (con dimostrazione). Definizione di PARTIZIONE di un insieme; esempi. Teorema: ogni relazione di equivalenza definisce una partizione (con dimostrazione). Teorema: ogni partizione definisce una relazione di equivalenza (con dimostrazione). Insieme quoziente. Esempi ed Esercizi.
  • 31.10.2012 (+4h=41): NUMERI INTERI. Definizione di valore assoluto, di divosore e multiplo. Divisibilita' di ogni combinazione lineare. Teorema della divisione in Z: esistenza ed unicita' del quoziente e resto (dimostrazione dell'unicita' e dell'esistenza di quoziente e resto nel caso di numeri positivi). Esempi di divisioni con resto in tutti i casi. Definizione di un massimo comun divisore e definizione di MCD. Proprieta'. Esistenza del MCD e algoritmo di Euclide per la sua determinazione. Teorema di Bezout (con dimostrazione). Definizione di un minimo comune multiplo e di mcm. Proprieta'. Relazione di equivalenza della congruenza modulo n, classi resto e descrizione del quoziente. Esempi ed Esercizi.
  • 5.11.2012 (+4h=45): NUMERI PRIMI. Definizione di numeri primi. Teorema Fondamentale dell'aritmetica (con dimostrazione dell'esistenza): fattorizzazione in potenze di primi distinti. Applicazione della fattorazizzazione per trovare divisori di un numero intero: scrittura esplicita e calcolo di quanti sono i divisori. Applicazione della fattorazizzazione per il calcolo del MCD. Teorema esistenza infiniti numeri primi (con dimostrazione). Crivello di Eratostene. Metodi di Fattorizzazione: Metodo di Eratostene e Metodo di Fermat. EQUAZIONI DIOFANTEE: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una equazione diofantea (visto solo che sono soluzioni). Esempi.
  • 7.11.2012 (+4h=49): CONGRUENZE modulo n >1. Ripasso della definizione della relazione di congruenza: relazione di equivalenza, descrizione classi resto, descrizione quoziente. Descrizione di alcune proprieta': somma, moltiplicazione, divisione dei coefficienti, riduzione del modulo. Piccolo teorema di Fermat, con dimostrazione. Teorema di Eulero Fermat (senza dimostrazione). Applicazione al calcolo di potenze modulo n. Teorema di Fermat (enunciato). CONGRUENZE LINEARI: Definizione ed Esempi. Teorema di esistenza della soluzione (con dimostrazione). Teorema che descrive tutte e sole le soluzioni di una congruenza lineare (dimostrato usando le equazioni diofantee), descrizione delle soluzioni distinti modulo n. Esempi ed Esercizi.
  • 12.11.2012 (+4h=53): SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI: definizione ed esempi. Teorema riduzione dei coefficiente dell'incognita ad 1, nel caso di esistenza di soluzione per ogni congruenza (con dimostrazione). Teorema Cinese dei Resti: esistenza ed unicita' della soluzione (con dimostrazione). Esempi ed Esercizi. Scrittura dei numeri in base n. Esempio in base 10,2 e 7. Criteri di divisibilita' per: 2,3,4,5,9,11,25. Sistema Crittografico RSA (R. Rivest, A. Shamir e L. Adleman): Definizione, crittografia a chiave pubblica. Accenno al problema della firma. Esercizi su: congruenze lineari e sistemi di congruenze lineari.
  • 12.11.2012 (+2h=55): Esercitazione pomeridiana di preparazione all'esonero. Sistemi di congruenze, equazioni diofantee, funzioni, tabelle di verita', proposizioni logiche, principio di induzione.
  • 14.11.2012 (+4h=59) STRUTTRE ALGEBRICHE: Definizione di struttura algebrica, operazione, operazione associativa, elemento neutro, elemento inverso. Esempi di ogni definizione. MONOIDI: definizione, esempi, monoide delle parole, monoidi commutativi e non commutativi, esempi. GRUPPI: definizioni, esempi, gruppi abeliani e non abeliani. Legge di cancellazioni nei gruppi con dimostrazione. Gruppi: scrittura moltiplicativa e scrittura additiva: potenze o multipli di un elemento. Relazioni di equivalenza compatibili con strutture algebriche. Teorema della struttura algebrica indotta sull'insieme quoziente (senza dimostrazione). Esempi fondamentali: relazione di congurenza modulo n (maggiore o uguale a 2) su Z compatibile sia con la somma che con il prodotto. Gruppi (Z_n,+) e monoide commutativo (Z_n, .). Tabelle per i gruppi finiti. Esempi e Esercizi.
  • 19.11.2012. (+2h=61) Esonero. Portare un documento di identita'.
  • 21.11.2012. No Lezione per la pausa.
  • 26.11.2012. (+4h=65) SOTTOGRUPPI: definizioni, teorema di caratterizzazione dei sottogruppi (con dimostrazione). Esempi. Intersezione di sottogruppi e' un sottogruppo, l'unione in generale no. Ordine di un gruppo: definizione ed esempi, ordine di un sottogruppo. Teorema di Lagrange (senza dimostrazione). Sottogruppo ciclico generato da un elemento. Periodo di un elemento. Proprieta' delle potenze di un elemento in relazione al suo ordine. Gruppi ciclici finiti ed infiniti: definizione ed esempi. Proprieta' dei gruppi ciclici: sono abeliani, i sottogruppi sono ciclici, ordine degli elementi nei gruppi ciclici finiti, generatori. Esempi ed Esercizi. Esempii in (Z_n,+).
  • 28.11.2012. (+4h=69) GRUPPI CICLICI finiti: per ogni divisore h dell'ordine esiste un sottogruppo di ordine h. Esempi ed Esercizi. Monoide commutativo (Zn,.): definizione ed elementi invertibili. Gruppo abeliano: (Zp,.) con p primo. GRUPPO SIMMETRICO. Definizione di gruppo simmetrico, notazione degli elementi, e degli inversi e della composizione. Definizione di ciclo. Ogni ciclo corriponsde ad una permutazione. Ogni permutazione puo' scriversi come prodotto di cicli disgiunti. Definizione di trasposizione. Ogni ciclo e quindi ogni permutazione, puo' essere scritta come prodotto di trasposizioni. Permutazioni pari e dispari. Ordine di una permutazione. Esempi ed Esercizi.
  • 28.11.2012. (+2h=71) Esercitazione pomeridiana: Esempi ed Esercizi. Gruppi finiti ciclici, ordine elementi e generatori. Esercizi sul gruppo simmetrico.
  • 03.12.2012. (+4h=75) ANELLI: Definizione di anello, di anello unitario, di anello commutativo unitario. \Esempi (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Definizione di divisori dello zero e di elementi invertibili (o unitari). Esempi in (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.), (Zn,+,.). Se un elemento e' invertibile allora non e' un divisore dello zero (con dimostrazione). Divisori dello zero ed invertibili in (Zn,+,.). CAMPI: definizione (K,+,.), . Esempi: (Q,+,.), (R,+,.), (Zp,+,.) con p primo. Esempio di ANELLO dei POLINOMI a coefficienti in un campo: (K[x],+,.). Campo dei NUMERI COMPLESSI (C,+,.): definizione, dell 'insieme C=RxR e di . e +. Identificazione dei numeri reali con gli elementi (a,0). Definizione dell'unita' immaginaria i=(0,1). Definizione di Coniugato e di modulo di un numero complesso. Proprieta' del coniugato e del modulo. Esempi ed Esercizi.
  • 05.12.2012. (+4h=79) Esercizio sui numeri complessi. MATRICI: Definizione di matrice e del gruppo abeliano (Mat_nxm(K), +) delle matrici di ordine nxm a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Esempi di matrici ed esempi di somma. Definizione della matrice IDENTITA' e di matrice TRASPOSTA. Definizione di matrici moltiplicabili. Definizione di PRODOTTO di MATRICI. Esempi ed esercizi. ANELLO delle MATRICI: (Mat_nxn(K), +, .) delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un qualsiasi campo (K,+, .). Eempi di divisori dello zero nell'anello delle matrici (e quindi non e' un campo). Definizione di COMPLEMENTO ALGEBRICO di un elemento di una matrice. Definizione di DETERMINANTE (di una MATRICE QUADRATA) con la regola di LAPLACE. Esempi ed Esercizi sul calcolo di determinanti. MATRICE INVERTIBILE: Definizione di matrice invertibile. Teorema: una matrice quadrata a coefficienti in un campo K e' invertibile se e solo se il determinante e' non nullo (senza dimostrazione). Calcolo della MATRICE INVERSA, usando i complementi algebrici. Esempi ed Esercizi.
  • 10.12.2012 (+4h=83) GRAFI: definizione di grafo, esempi. Definizione di grafo orientato, di multigrafo e di multigrafo orientato. Vertici adiacenti, lati incidenti. Disegno di un grafo. Isomorfismo di grafi. Grado di un vertice. Formula che lega il numero dei lati ai gradi dei vertici (con dimostrazione). Numero di vertici dipari in un grafo (con dimostrazione). Grafi regolari. Definizione di cammino e circuito (o ciclo). Grafo connesso. Definizione di distanza tra vertici in un grafo connesso. Grafo completo. Definizione di cammino euleriano, definizione di circuito euleriano. definizione di grafo euleriano. Teroema di esistenza di circuiti euleriani. Teorema di esistenza di cammini euleriani. Definizone di cammino hamiltoniano. Grafi bipariti. Esempi grafi bipartiti completi. Definizione di ALBERI. Teorema di caratterizzazione degli alberi. Esempi ed esercizi.
  • 12.12.2012. (+4h=87) Grafi PLANARI. Esempi grafi K5 e K3,3. Teoremi sui grafi planari. RETICOLI: definizione di reticolo algebrico (R,^,V). definizione di sottoreticolo. Esempio di reticolo dell'insieme delle parti di un insieme finito. Teorema sulle leggi di idempotenza (con dimostrazione). Teorema che lega V unione e ^ intersezione (con dimostrazione). Reticoli distributivi. Esistenza elemento neutro rispetto ad unione e intersezione. Complemento di un elemento. Teorema: nei reticoli distributivi con elementi neutri, se il complemento esiste e' unico (con dimostrazione). Definizione di reticolo di BOOLE. Legame tra reticoli ed insiemi parzialmente ordinati. Definizione di massimo e minimo, estremo inferiore ed estremo superiore in un insieme parzialmente ordinato. Esempi: numeri interi e naturali, con la relazione di minore o uguale, numeri naturali non nulli e relazione di divisibilita', insieme dei divisori di un intero n, per ogni n>1. Diagrammi di Hasse di un insieme parzialmente ordinato. Teorema: ogni insieme parzialmente ordinato che ammette sup e inf per ogni coppia di elementi e' un reticolo algebrico. Teorema: ogni reticolo algebrico e' un insieme parzialmente ordinato che amemtte sup e inf per ogni coppia di elementi.
  • 17.12.2012. (+4h=91 ) RETICOLI: Ripasso sui reticoli ed Esempi. Relazione ta minimo e massimo ed elementi neutri. Esempi di reticoli non distributivi: Reticolo trirettangolo M3, reticolo pentagonale N5. Definizione di isomorfismo di reticoli. Teorema di caratterizzazione dei reticoli distributivi. Esercizi su: reticoli distributivi, reticoli di Boole, alberi, grafi, grafi planari, circuiti euleriani, cammini euleriani e hamiltoniani.Esercizi su matrici a coefficienti complessi, prodotto e inversa di matrici; determinante. Numeri complessi, gruppi di permutazione. anelli: divisori dello zero, invertibili e calcolo inverso.
  • 19.12.2012. (+2h =93) Secondo Esonero

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