Geometria 2

Con il Prof. B. Casciaro, insegno una piccola parte del corso di Geometria 2, per gli studenti del primo anno del corso di laurea in Matematica dell' Universita' degli Studi di Bari "Aldo Moro" (La lezione è il mercoledi' 11-13, AULA IX).

PROGRAMMA del Prof. B. Casciaro

Ricevimento: su appuntamento.

Prove scritte (vedere anche sulla Prof. A.Farinola's web page)

Si consiglia vivamente a tutti gli studenti di prendere visione della prova scritta, anche (e soprattutto) a coloro che non l'hanno superata il giorno della prova orale.

Raccolta tracce degli esami di questo anno. Per gli anni passati consultare Prof. A.Farinola's web page e Prof. A.Lotta's web page.

È vivamente consigliata e raccomandata la preaprazione dell'esame scritto e dell'esame orale nello stesso appello. Lo studente ha comunque diritto a conservare lo scritto all'interno dei periodi 1 Gennaio-30 Aprile; 1 Giugno-30 Novembre. (Esempio, se lo studente supera la prova scritta il 10 giugno, ha diritto ad affrontare la prova orale, fino all'appello di Settembre o Novembre per i fuori corso.)

Diario delle Lezioni

02.03: Ripasso I: forme bilineari, definizioni e proprieta', matrici associate, dipendenza dalla base, esempi ed esercizi

09.03: Ripasso II: forme quadratiche, definizioni e proprieta', matrici associate, teoremi di diagonalizzazione, caso campo algebricamente chiuso, caso reale (teorema di Sylvester). matrici definite positive, negative etc. esempi ed esercizi

16.03: Criterio matrice definita positiva o negativa (senza dimostrazione). Definizioni di prodotto scalare, spazi eucledi, norma di nu vettore, vettori ortogonali e ortonormali, basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Esempi

23.03: Teorema di Gram-Schmidt, dimostrazione, applicazioni, esercizi. Somme diretta, sottospazio ortogonale, proiezioni ortogonali, esercizi. Matrici ortogonali, definizioni, proprieta'. Gruppi matrici ortogonali e matrici speciali ortogonali.

30.03: Matrici ortogonali e cambiamenti di basi ortonormali. Descrizione matrici ortogonali 2 x 2. Basi orientate concordemente e discordeemente. Orientazioni di uno spazio vettoriale. Esempi. Operatori unitari: definizione e proprieta' equivalenti.

13.04: Operatori unitari, matrici associate: matrici ortogonali. Autovalori operatori unitari. Definizione angolo orientato tra due vettori non nulli, coseno dell'angolo e legame con prodotto scalare. Definizione prodotto vettoriale e proprieta'.

20.04. Definizione prodotto vettoriale e proprieta'. Dipendenza prodotto vettoriale dalla base scelta. Prodotto misto. Significato geometrico prodotto scalare, prodotto misto, prodotto vettoriale. Definizione operatore aggiunto. Teorema esistenza ed unicita' operatore aggiunto (con dimostrazione). Matrice associata all'operatore aggiunto. Esercizi.

27.04. Definizione operatore autoaggiunto e antisimmetrico. Autovalori matrici simmetriche e antisimmetriche. Teorema spettrale ed enunciati equivalenti (con dimostrazioni). Diagonalizzazione e basi ortonormali di autovettori. Esercizi.

11.05. Spazi euclidei, angolo tra rette. Spazio euclideo di dimensione 2: equazione retta, angoli tra rette, vettori e versori ortogonali, rette ortogonali, distanza punto retta: formula con dimostrazione ed esempio. Spazio euclideo di dimensione 3: equazione piano, vettore ortogonale, angolo tra piani, angolo tra retta e piano, distanza punto piano (formula con dimostrazione), distanza tra piani, distanza piano retta, distanza punto retta ed esempio.

13.05. Spazio euclideo E3 di dimensione 3: distanza tra rette, retta di minima distanza ed esercizio (ex 3 del 3 Giugno 2009). Esercizi vari: in E3 data retta e piano trovare proiezione ortogonale, retta per un punto ed incidente perpendicolarmente ad una retta data. Trovare trasformazione ortogonale che diagonalizza forma quadratica fissata e trovare forma diagonale. Ex 3 di Aprile 2009. Esercizi per casa, tra cui Ex 2 di Aprile 2009.

18.05. Esercizi vari: Ex 1 di Aprile 2009 su prodotto scalare, ortogonale e operatori aggiunti. In E3, dati due piani, determinare rette su un piano a distanza fissata dall'altro. Fissata retta in E3, determinare piano ortogonale per un punto ed equazione del luogo dei punti a distanza fissata. Date 3 rette in E3, mostrare complanari, trovare piano e distanze tra le rette. In E3, dato punto, retta r e piano, trovare retta per punto, incidente a r e parallela al piano, oppure determinare piano passante per un punto dato, perpendicolare ad un piano dato, e a distanza fissata da retta data. Esercizi per casa.

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