Esercitazioni di Geometria

Corso di Laurea in Fisica.

Docente del Corso Prof. Giulia Dileo.

Programma del Corso.

Ricevimento

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Testi consigliati

A. Facchini:"Algebra e Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI (per la parte algebrica).

E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.

E. Abbena, A.M. Fino, G.M. Gianella: "Algebra lineare e geometria analitica", Vol. I e II, Aracne Ed.

Esercizi

Per chi volesse esercitarsi qui ci sono alcuni esercizi.

Esami

Per le date di esame consultare ESSE3

Diario delle Lezioni

  • 04.10.2016 (2h ): Vettori liberi, somma prodotto per un numero reale e proprieta'. Riferimento cartesiano nel piano e nello spazio. Equazione parametrica e cartesiana della retta nel piano. Equazione parametrica della retta nello spazio. Angolo tra vettori non nulli, prodotto scalare tra vettori. Interpretazione geometrica del prodotto scalare. Prodotto vettoriale ed interpretazione geometrica.
  • Ripasso funzioni: Definizione di funzione, funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa. Definizione di restrizione di una funzione, di funzione ridotta e di iniezione canonica. Relazioni funzionali. Esercizi su relazioni funzionali e sulle funzioni.
  • 11.10.2016 (+2h=4h ): Ripasso funzioni: Definizione di funzione, funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa. Definizione di restrizione di una funzione. Esercizi su composizioni di funzioni iniettive, composizioni di suriettive, composizioni di biettive, su immagini e controiimagini di unione e intersezione. Esercizi su funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa e composizione. Esercizi su legge di composizione, associativita', commutativita' elemento neutro, elementi ivertibili..
  • 13.10.2016 (+1h=5h ): Esercizi su leggi di composizione, associativita', commutativita' elemento neutro, elementi ivertibili. Struttura algebrica di campo sull'insieme dei numeri complessi. Identificazione dei numeri reali con gli elementi (a,0). R sottocampo di C. Definizione dell'unita' immaginaria i=(0,1). Forma algebrica dei numeri complessi.
  • 18.10.2016 (+2h=7h ): Forma algebrica dei numeri complessi. Definizione di coniugato e di modulo di un numero complesso. Forma algebrica dell'inverso. Proprieta' del coniugato e del modulo. Esempi ed Esercizi. Struttura algebriche di spazio vettoriale di C su C e C su R. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo K nell'indeterminata x. Struttura di anello su K[x]: Somma, prodotto, elementi neutri, opposto, inverso. Grado di un polinomio, proprieta'. Struttura si spazio vettoriale su K[x]. Kn[x]: sottospazio dei polinomi di grado minore o uguale a n. Teorema di divisione tra polinomi (senza dim.). Divisibilita' tra polinomi. Polinomi irriducibili. Fattorizzazione di un polinomio come prodotto di irriducibili. Esempi.
  • 20.10.2016 (+1h=8h ): Anello dei polinomi a coefficienti in un campo K nell'indeterminata x. Radice di un polinomio. Teorema di Ruffini (senza dim.). Molteciplita' di una radice. Campo algebricamente chiuso. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Esempi. Sottospazio dei polinomi di grado minore o uguale a n Kn[x] e' finitamente generato. Teorema K[x] non e' finitamente generato (con dim). Esercizi su sottospazi vettoriali.
  • 25.10.2016 (+2h=10h ): Matrici m righe n colonne a coefficienti in un campo K: M m,n(K). Esempi. Vettori riga, vettori colonna, matrici quadrate. Struttura di K spazio vettoriale sull'insieme M m,n(K). Basi degli spazi vettoriali M m,n(K). Definizione di diagonale principale. Matrice trasposta e proprieta'. Matrici simmetriche S n(K): definizioni, esempi, struttura di sottospazio. Matrici antisimmetriche A n(K): definizioni, esempi, struttura di sottospazio. Esempio M m,n(R) spazio vettoriale come somma diretta di S n(R) e A n(R) Esempi.
  • 27.10.2016 (+2h=12h ): Matrici: diagonale principale, matrici diagonali, matrici scalari, matrici identita'. Traccia di una matrice e proprieta'. Sottospazio delle matrici a traccia nulla. Matrici: Matrici moltiplicabili. Prodotto righe per colonne tra Matrici. Esempi. Proprieta' del prodotto, struttura di anello su M n(K). Matrici invertibili. Proprieta' dell'inversa. Gruppo lineare generale di ordine n a coefficienti in un campo K.
  • 03.11.2016 (+1h=13h ): Definizione di sottomatrice, minore, complemento algebrico. Determinante di una matrice quadrata con la Regola di Laplace. Esempi ed Esercizi.
  • 04.11.2016 (+2h=15h ): Matrici: Teorema di Binet (senza dimostrazione). combinazione lineare di righe o colonne di una matrice. Proprieta' del determinante. Secondo teorema di Laplace (senza dim.). Definizione Matrice Aggiunta. Caratterizzazione delle matrici invertibili (con dim.) e calcolo dell'inversa. Esempi e Esercizi.
  • 08.11.2016 (+2h=17h ): Definizione di rango di una matrice, tramite righe e colonne linearmente indipendenti e tramite minori. Teorema degli orlati (senza dim.). Rango matrice trasposta e matrici invertibili. Esempi e Esercizi su rango. Determinazione del rango di una matrice al variare di un parametro. Gruppo GL(n,K), GL+(n,R), gruppo speciale lienare SL(n,R). Gruppo O(n,K) delle matrici ortogonali. Determinante matrici ortogonali. Gruppo speciale ortogonale SO(n,K).
  • 10.11.2016 (+1h=18h ): Ripasso corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari. Determinazione della applicazione lineare associata ad una matrice. Esempi ed Esercizi. Esercizi su applicazioni lineari definite da matrici, determinazione di base e dimensione del nucleo e dell'immagine.
  • 22.11.2016 (+2h=20h ): Esercizi: basi degli spazi vettoriali S2(R), A2(R), sl2(R). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Caso m=1, una equazione lineare. Matrici associate al sistema: matrice coefficienti, matrice incognite, matrice termini noti, matrice completa. Sistema in forma matriciale. Definizione di sistema di Cramer e Teorema di risoluzione dei sistemi di Cramer (con dimostrazione) e formula per la soluzione. Esempi ed Esercizi.
  • 24.11.2016 (+1h=21h ): Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Caso rango=m< n. Teorema di risoluzione caso rango=m< n con dimostrazione. Esempi. Teorema di Rouche'-Capelli (con dimostrazione).
  • 29.11.2016 (+2h=23h ): Ripasso Teorema di Rouche'-Capelli. Metodo di risoluzione per i sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Sistemi lineari omogenei di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Esempi ed Esercizi. Sistema omogeneo e sistema omogeneo associato ad un sistema lineare. Teorema di struttura di spazio vettoriale su insieme soluzioni di un sistema omogeneo (con dimostrazione). Struttura di spazio (affine)) su insieme soluzioni. Esempi ed esercizi su sistemi lineari omogenei, base e dimensione sullo spazio vettoriale delle soluzioni. Esempi ed esercizi su sistemi lineari, metodo di risoluzione, sistemi di Cramer.
  • 01.12.2016 (+1h=24h ): Definizione di Endomorfsimo Diagonalizzabile ed Esempi. Definizione Autovettore e Autovalore di un Endomorfismo. Esempi. Unicita' autovalore associato ad un autovettore (con dim.). Teorema: un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se esiste base di autovettori (con dimostrazione). Definizione di autospazio relativo ad un autovalore. Dimsotrazione che un autospazio e' uno spazio vettoriale.
  • 06.12.2016 (+2h=26h ): Definizione di Matrici Simili. Matrici Simili hanno stesso determinante (con dimostrazione). Definizione di Matrice Diagonalizzabile. Matrici associate ad uno stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili (con dimostrazione). Un endomorfismo e' diagonalizzzabile se e solo se la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base e' diagonalizzabile (con dimostrazione). Definizione Autovettore e Autovalore di una matrice. Definizione di polinomio caratteristico e dimostrazione che non dipende dalla base scelta. Esempi. Caratterizzazione degli autospazi come soluzioni di sitemi omogeni (con dimostrazione). Teorema di Caley-Hamilton: Gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico (con dimostrazione).
  • 13.12.2016 (+2h=28h ): Riepilogo di quanto fatto sulla diagonalizzazione. Esempi. Molteplicita' algebrica e molteplicita geometrica. Esempi. Teorema che 1 e' minore o uguale della molteplicita geometrica minore uguale della molteplicita algebrica (con dim.). Criterio di diagonalizzabilita' degli endomorfismi (senza dimostrazione). Definizione di Autovalore semplice. Esempi ed Esercizi su diagonalizzabilita'.
  • 15.12.2016 (+1h=29h ): Definizione di operatore simmetrico su spazi euclidei. Relazione tra operatori simmetrici e matrici simmetriche (con dim.). Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale ha tutte le radici reali (con dim.). Teorema spettrale: Ogni operatore simmetrico ammette una base ortonormale diagonalizzante (con dim).
  • 20.12.2016 (+1h=30h ): Autovettori e Autovalori delle matrici ortogonali O(2,R). Esercizi su diagonalizzazione di endomorfismi e basi di autovettori. That's it.

Alla costruzione del tunnel tra il Cern e il Gran Sasso, attraverso il quale si è svolto l'esperimento, l'Itaia ha contribuito con uno stanziamento oggi stimabile intorno ai 45 milioni di Euro. M.G.