Esercitazioni di Geometria

Corso di Laurea in Fisica.

Docente del Corso Prof. Giulia Dileo.

Programma del Corso.

Esami

L'esame del 7 Aprile 2016, ore 14:00, si svolgera' in Aula 8, Dipartimento di Matematica.

Testi consigliati

A. Facchini:"Algebra e Matematica Discreta", ed. ZANICHELLI (per la parte algebrica).

E. Sernesi: "Geometria 1", Bollati Boringhieri.

E. Abbena, A.M. Fino, G.M. Gianella: "Algebra lineare e geometria analitica", Vol. I e II, Aracne Ed.

Esercizi

Per chi volesse esercitarsi qui ci sono alcuni esercizi.

Esami

Alcuni esercizi di preparazione. Per le date di esame consultare ESSE3.

Diario delle Lezioni

  • 06.10.2015 (2h ): Esercizi su relazioni di equivalenza e insieme quoziente. Ripasso funzioni: Definizione di funzione, funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa. Definizione di restrizione di una funzione, di funzione ridotta e di iniezione canonica. Relazioni funzionali. Esercizi su relazioni funzionali e sulle funzioni.
  • 08.10.2015 (+1h=3h ): Esercizi su funzioni iniettive, suriettive, biettive, inversa e composizione di funzioni. Esercizi su strutture algebriche.
  • 13.10.2015 (+2h=5h ): Esercizi su leggi di composizione, associativita', commutativita' elemento neutro, elementi ivertibili. Struttura algebrica di campo sull'insieme dei numeri complessi. Identificazione dei numeri reali con gli elementi (a,0). R sottocampo di C. Definizione dell'unita' immaginaria i=(0,1). Forma algebrica dei numeri complessi. Definizione di coniugato e di modulo di un numero complesso. Forma algebrica dell'inverso. Proprieta' del coniugato e del modulo. Esempi ed Esercizi. Strutture algebriche di spazio vettoriale su C.
  • 15.10.2015 (+1h=6h ): Anello dei polinomi a coefficienti in un campo K nell'indeterminata x. Struttura di anello: Somma, prodotto, elementi neutri, opposto, inverso. Grado di un polinomio, proprieta'. Teorema di divisione tra polinomi (senza dim.). Divisibilita' tra polinomi. Polinomi irriducibili. Fattorizzazione di un polinomio come prodotto di irriducibili. Esempi.
  • 20.10.2015 (+2h=8h ): Anello dei polinomi a coefficienti in un campo K nell'indeterminata x. Funzione polinomiale associata. Radice di un polinomio. Teorema di Ruffini (senza dim.). Campo algebricamente chiuso. Teorema fondamentale dell'algebra senza dimostrazione. Esempi. Matrici m righe n colonne a coefficienti in un campo K: M m,n(K). Esempi. Vettori riga, vettori colonna, matrici quadrate. Struttura di K spazio vettoriale sull'insieme M m,n(K). Matrice trasposta e proprieta'. Matrici simmetriche S n(K): definizioni, esempi, struttura di sottospazio. Matrici antisimmetriche A n(K): definizioni, esempi, struttura di sottospazio. Esempio M m,n(R) spazio vettoriale come somma diretta di S n(R) e A n(R) Esempi.
  • 22.10.2015 (+1h=9h ): Matrici: diagonale principale, matrici diagonali, matrici scalari, matrici identita'. Traccia di una matrice e proprieta'. Sottospazio delle matrici a traccia nulla.Esempi. Esercizio: basi degli spazi vettoriali M m,n(K), S2(R), A2(R), sl2(R).
  • 27.10.2015 (+2h=11h ): Matrici: Matrici moltiplicabili. Prodotto righe per colonne tra Matrici. Esempi. Proprieta' del prodotto, struttura di anello su M n(K). Matrici invertibili. Proprieta' dell inversa. Gruppo lineare generale di ordine n a coefficienti in un campo K. Definizione di sottomatrice, minore, complemento algebrico. Determinante di una matrice quadrata con la Regola di Laplace. Esempi ed Esercizi.
  • 29.10.2015 (+1h=12h ): Matrici: Teorema di Binet (senza dimostrazione). Proprieta' del determinante.
  • 03.11.2015 (+2h=14h ): Matrici: Definizione Matrice Aggiunta. Caratterizzazione delle amtrici invertibili (con dim.) e calcolo dell'inversa. Esempi e Esercizi. Definizione di rango di una matrice, tramite righe e colonne linearmente indipendenti e tramite minori. Teorema degli orlati. Esempi e Esercizi su rango. Rango matrice trasposta, identita', matrici invertibili. Gruppo GL(n,K), GL+(n,K), SL(n,K), O(n,K) delle matrici ortogonali.
  • 11.11.2015 (+1h=15h ): Matrici: O(n,K) delle matrici ortogonali. Determinante matrici ortogonali. Gruppo speciale ortogonale SO(n,K). Descrizione esplicita di O(2, R): matrici ortogonali di ordine 2 a coefficienti in R. Ripasso corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari. Determinazione della applicazione lineare associata ad una matrice. Esempi ed Esercizi.
  • 12.11.2015 (+1h=16h ): Esercizi su applicazioni lineari, applicazioni lineari definite da matrici, determinazione di base e dimensione del nucleo e dell'immagine. Determinazione del rango di una matrice al variare di un parametro.
  • Il ricevimento di Martedi 17 Novembre e' stato spostato a Giovedi 19 Novembre 15:00- 16:00, Aula VIII, primo piano, Dipartimento di Matematica.
  • 19.11.2015 (+2h=18h ): Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Caso m=1, una equazione lineare. Matrici associate al sistema: matrice coefficienti, matrice incognite, matrice termini noti, matrice completa. Sistema in forma matriciale. Definizione di sistema di Cramer e Teroema di risoluzione e formula per la soluzione (con dimostrazione). Esempi. Caso rango=m
  • 23.11.2015 (+1h=19h ): Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Teorema di Rouche'-Capelli (con dimostrazione). Metodo di risoluzione per i sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K.
  • 24.11.2015 (+2h=21h ): Sistemi lineari omogenei di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Sistema omogeneo associato ad un sistema lineare. Teorema di struttura di spazio vettoriale su insieme soluzioni di un sistema omogeneo (con dimostrazione). Struttura di spazio (affine)) su insieme soluzioni. Esempi ed esercizi su sistemi lineari omogenei, base e dimensione sullo spazio vettoriael delel soluzioni. Esempi ed esercizi su sistemi lineari, metodo di risoluzione, sistemi di Cramer.
  • 26.11.2015 (+1h=22h ): Definizione di Endomorfsimo Diagonalizzabile ed Esempi. Definizione Autovettore e Autovalore di un Endomorfismo. Esempi e proprieta'. Teorema: un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se esiste base di autovettori (con dimostrazione). Definizione di autospazio di un autovalore. Dimsotrazione che un autospazio e' uno spazio vettoriale.
  • 30.11.2015 (+1h=23h ): Definizione di Matrici Simili. Matrici Simili hanno stesso determinante (con dimostrazione). Definizione di Matrice Diagonalizzabile. Matrici associate ad uno stesso endomorfismo rispetto a basi diverse sono simili (con dimostrazione). Un endomorfismo e' diagonalizzzabile se e solo se la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base e' diagonalizzabile (con dimostrazione).
  • 01.12.2015 (+2h=25h ): Definizione Autovettore e Autovalore di una matrice. Definizione di polinomio caratteristico e dimostrazione che non dipende dalle scelte. Esempi. Caratterizzazione degli autospazi come soluzioni di sitemi omogeni (con dimostrazione). Gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Esempi. Molteplicita' algebrica e molteplicita geometrica. Esempi. Dimostrazione molteplicita geometrica minore uguale della molteplicita algebrica. Criterio di diagonalizzabilita' degli endomorfismi (senza dimostrazione).
  • 03.12.2015 (+1h=26h ): Ripasso Criterio di diagonalizzabilita' degli endomorfismi. Definizione di Autovalore semplice. Esercizi su diagonalizzabilita'.
  • 11.12.2015 (+1h=27h ): Definizione di operatore simmetrico su spazi euclidei. Relazione tra operatori simmetrici e matrici simmetriche (con dim.). Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale ha tutte le radici reali (con dim.). Teorema spettrale: Ogni operatore simmetrico ammette una base ortonormale diagonalizzante (con dim).
  • 15.12.2015 (+2h=29h ): Autovettori delle matrici ortogonali O(2,R). Prodotto vettoriale: definizione e proprieta'. Direzione, modulo e verso del prodotto vettoriale. Dipendenza dall'orientazione della base ortonormale. Prodotto misto. Area parallelogramma e volume prallelepipedo.
  • 19.12.2015 (+1h=30h) Esercizi su applicazioni lineari, nucleo immagine, dimensioni e immagini, cambiamenti di base, rango di matrice in funzione di un parametro k, diagonalizzazione di endomorfismi e basi di autovettori.

Alla costruzione del tunnel tra il Cern e il Gran Sasso, attraverso il quale si è svolto l'esperimento, l'Itaia ha contribuito con uno stanziamento oggi stimabile intorno ai 45 milioni di Euro. M.G.