Analisi Matematica ITPS

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Modalità di svolgimento degli esami per l’AA 2017/18
1) L’esame verte su due parti:
A – una prima parte relativa agli aspetti applicativi/esercitativi,
T – seconda parte sugli aspetti teorici.

2) L’esame si svolge attraverso una prova scritta e di una prova orale da svolgersi entrambe all’interno di uno stesso appello.

3) La prova scritta verte su entrambe le parti del programma ed è propedeutica alla prova orale. La prova scritta si intende superata se almeno la parte A risulta essere sufficiente.

4) Il colloquio orale, oltre che discutere l’elaborato della prova scritta, verte su entrambe le parti del programma.

Ulteriori precisazioni

5) Le date degli appelli relativi alla parte A sono gia’ pubblicate sul sistema esse3. Per ragioni tecniche queste date vengono visualizzate su esse3 come ‘prove parziali’. Per sostenere tali esami e’ necessario (obbligatorio) prenotarsi attraverso il sistema esse3. Dopo ogni esame della parte A ci sara’ anche una data di esame relativa alla parte T (visualizzate su esse3 come ‘appelli’). Le date degli esami della parte T verranno pubblicate entro il giorno successivo alla data della parte A. Per sostenere l’esame relativo alla parte T e’ necessario registrarsi attraverso il sistema esse3. Infine si ricorda che la data indicata e’ la prima del calendario degli esami. Se ci dovessero essere molti iscritti, per alcuni candidati potrebbe esserci un rinvio ai giorni successivi.

6) I compiti non saranno piu’ accessibili 20 giorni dopo la pubblicazione degli esiti.

Programma del corso AA 2016/17

Esercizi d’esame

Argomenti già svolti a lezione AA 2017/18
Presentazione del corso di analisi, illustrazione delle applicazioni del calcolo alla computer science.
Richiami sugli insiemi numerici. Campi ordinati, assioma di completezza. I numeri reali.

Conseguenze degli assiomi. Risoluzioni di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.
Richiami sulla definizione di funzione: ingettiva surgettiva, bigettiva, grafico di una funzione. Interpretazioni analitiche e geometriche.

Insiemi infiniti e finiti. Cardinalita’. Numerabilità di ZZ e QQ. L’insieme delle parti di un insieme ha cardinalità strettamente maggiore dell’insieme di
partenza. Cardinalità dei reali. I punti del piano e della retta hanno la stessa cardinalità.

Ogni insime infinito e’ almeno numerabile. Esercizi ed esempi. Valore assoluto e sue proprieta’. Successioni. Successioni limitate. Nozione di “definitivamente”. Definizione di successione convergente. Unicita’ del limite di successioni. Ogni successione convergente e’ limitata. Esempi e controesempi.

Successioni divergenti. Successioni regolari. Esistenza della radice n-esima. Funzione radice n-esima. Funzioni composte. Funzioni monotone. Esempi e controesempi. Funzioni invertibili. Ogni funzione strettamente monotona è invertibile.

Proprieta’ delle potenze. Definizione di esponenziale con esponente razionale. Definizione di esponenziale con esponente reale. Esercizi sulle disuguaglianze frazionarie.

Proprieta’ delle funzioni esponenziale e logaritmo. Funzione potenza. Limiti per eccesso e per difetto.
Operazioni con i limiti. Ogni successione monotona e’ regolare. Teoremi delle permanenza del segno.

Funzioni periodiche. Parte intera e mantissa. Definizione delle funzioni trigonometriche, delle loro inverse con relativi grafici e proprieta’.

Sistemi di disuguaglianze. Disuguaglianze polinomniali e razionali, disuguaglianze coinvolgenti il valore assoluto.

Disuguaglianze coinvolgenti funzioni irrazionali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche.
Teoremi di confronto per limiti di successioni.

Algebra dei limiti con limiti divergenti. Forme indeterminate. Disuguaglianza di Bernoulli. Successione geometrica. Successioni infinitesime, infinite. Successioni asintoticamente equivalenti. Confronti fra infiniti e confronti fra infinitesimi. Criterio del rapporto per successioni. Gerarchia degli infiniti. Esempi ed esercizi.

Costruzione del numero ‘e’.
Esercizi sui limiti di successioni.

Punti di accumulazione. Definizione di limite sequenziale. Esempi e controesempi. Limite a destra e limite a sinistra. Unicita’ del limite. Tecniche per dimostrare la non esistenza di alcuni limiti.
Esercizi sui limiti di successioni.

Funzioni continue. Esempi e controesempi. Intorni. Definizione topologica di limite. Equivalenze delle definizioni sequenziale e topologica. Teoremi di confronto per limiti di funzioni. Teoremi della permanenza del segno.

Algebra dei limiti. Teorema sul cambio di variabile nei limiti. Composizioni di funzioni continue. Continuita’ delle funzioni elementari. Esercizi ed esempi. Alcuni limiti notevoli

Teorema degli zeri per funzioni continue. Teorema dei valori intermedi. Teorema di esistenza della radice n-esima. Teorema di Weierstrass. Regolarita’ delle funzioni monotone.

Continuita’ della funzione esponenziale. Continuita’ dell’inversa. Continuita’ delle funzioni elementari. Limiti notevoli. Funzioni asintoticamente equivalenti. Gerarchie di infiniti e infinitesimi. Esercizi sui limiti. Operazioni con i grafici di funzioni.

Notazione o-piccolo. Algebra degli o-piccolo. Esempi ed applicazioni al calcolo di limiti.
Problema della definizione di tangente ad una curva. Problema della velocità istantanea. Definizione di derivata, retta tangente in un punto del grafico di una funzione. Funzione derivata. Derivate di ordine superiore. Esempi dall’economia e dalla cinematica. Problema della migliore retta approssimante. Le funzioni derivabili sono continue. Derivata della somma, di un prodotto e di un rapporto.

Derivate delle funzioni elementari. Derivata di funzioni composte. Derivata della funzione inversa. Applicazioni alle funzioni elementari. Derivata a destra e sinistra. Punti angolosi e punti cuspidali. Esempi e controesempi. Esercizi.

Esercizi sui limiti

Definizioni di massimo e minimo, assoluti e locali (o relativi), punti estremali, punti stazionari. Teorema di Fermat. Esempi e controesempi.Probelma di ricerca di punti estremali. Problemi dalla geometria. Teorema di Lagrange. Test di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Funzioni che non ammettono primitiva.

Test di derivabilità. Esercizi. Teoremi di de l’Hopital (senza dimostrazioni). Gerarchia degli infiniti e infinitesimi. Esercizi. Problema di approssimazione attraverso polinomi. Polinomi di McLaurin. Formule di McLaurin con resto di Peano.

Teorema di Taylor con resto di Peano, Teorema di Taylor con resto di Lagrange. Calcolo dei polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari, applicazioni al calcolo di funzioni e stime degli errori.

Tecniche di calcolo dei polinomi ed esercizi. Calcolo dei limiti usando i polinomi di Taylor.

Definizione di funzioni convesse e concave. Loro caratterizzazione attraverso il rapporto incrementale, retta tangente, derivata seconda. Continuita’ delle funzioni convesse. Metodo di Newton per le radici di una funzione. Disuguaglianza di Bernoulli.

Definizione di serie. Carattere di una serie. Condizioni necessaria per la convergenza di una serie. Linearita’. Serie geometrica.
Asintoti. Esercizi sullo studio di funzioni

Serie resto.Caratterizzazione della convergenza attraverso il resto. Serie telescopiche. Regolarita’ delle serie a termini positivi. Criteri del confronto, confronto asintotico, della radice, del rapporto. Serie armoniche generalizzate.
Esercizi sullo studio di funzioni.

Problema della misura di un’area. Metodo di esaustione. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Interpretazioni geometrica, cinematica e meccanica. Proprieta’ di linearita’, positivita’ e additivita’ degli integrali. Integrabilita’ delle funzioni continue (solo enunciato). Integrabilita’ delle funzioni monotone (solo enunciato).
Serie assolutamente convergenti. Criterio di Leibniz. Esercizi sulle serie. Serie dipendenti da parametri.
Esercizi sullo studio di funzione.

Esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann. Integrabilita’ di alcune classi di funzioni discontinue. Problema della ricerca di primitiva e relazioni con l’integrabilita’ delle funzioni. Funzioni che non ammettono primitiva. Teorema della media per integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale (ogni funzione continua ammette primitiva). Primitive di alcune funzioni elementari. Integrazione per sostituzione.

Integrazione di funzioni razionali

Integrazione per parti. Esercizi di integrazione di funzioni razionali, con valore assoluto, per parti, funzioni trigonometriche, irrazionali, esponenziali. Simmetrie e integrazione.
Integrali generalizzati. Criterio dell’integrale per serie e applicazioni alla serie armonica generalizzata. Criteri di confronto e di confronto asintotico per integrali generalizzati. Criteri di integrabilita’ al finito e all’infinito. Assoluta convergenza. Integrali dipendenti da parametro. Esercizi.

Esercizi sull’integrazione e sulle serie dipendenti da parametri.

Esercizi sulle studio di funzioni

 

Aggiornamento 01.06.18

Qui ci sono alcune prove d’esame

Programma del corso AA 2015/16

Modalità di svolgimento degli esami per l’AA 2015/16