Algebra n. 2

Prof.ssa Margherita Barile

Programma

Teoria dei gruppi

Relazioni di congruenza destra e sinistra rispetto ad un sottogruppo. Classi laterali destre e sinistre. Sottogruppi normali: definizione, caratterizzazioni, criteri sufficienti. Centro di un gruppo. Normalità di A_n in S_n. Gruppi quoziente.

Omomorfismi di gruppi: nucleo, criterio di iniettività, teorema fondamentale.

Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange per i gruppi finiti e sue conseguenze: teorema di Eulero, proprietà dei gruppi di ordine primo, dimostrazione che, per n>1, |A_n| = |S_n|/2.

Prodotti di sottogruppi (solo esercizi).

Azioni di gruppi su insiemi, casi particolari dell’azione banale e dell’azione regolare. Orbite e stabilizzatori, relazione tra le loro cardinalità nel caso di un gruppo finito. Dimostrazione per induzione che |S_n|=n!. Teorema di Cayley.

Azione di di coniugio e relazione di coniugio. Classi di coniugio: caratterizzazione in Sn, relazione con i centralizzanti. Equazione delle classi. Sottogruppi coniugati.

Il gruppo quoziente G/Z(G) ed il gruppo Inn(G) degli automorfismi interni. Inn(G) come sottogruppo normale di Aut(G), caso in cui G è abeliano, caso G= S3. Gruppi di ordine p2: proprietà del centro, classificazione.Teorema di corrispondenza per i gruppi.

Gruppi diedrali: definizione geometrica, scrittura degli elementi, relazioni fondamentali, centro, Dn come sottogruppo di Sn. Gruppo di Klein.

Il gruppo dei quaternioni.

Il problema dell’nvertibilità del Teorema di Lagrange in alcuni casi particolari: gruppi ciclici, S₃, S₄, S₅. Teorema di Cauchy. Teoremi di Sylow (senza dimostrazione).

Teorema di struttura per i gruppi abeliani finiti (senza dimostrazione).

Teoria degli anelli

Ideali destri, sinistri, bilateri. Ideali e sottoanelli di Z. Anelli quoziente.

Omomorfismi di anelli: nucleo, teorema fondamentale.

Teorema di corrispondenza per gli anelli.

Ideali principali. Anelli ad ideali principali. Domini ad ideali principali. Domini euclidei: definizione, proprietà (sono domini ad ideali principali), esempi notevoli (Z, K[x], Z[i]), caratterizzazione degli elementi invertibili.

Definizione di massimo comune divisore e minimo comune multiplo ed identità di Bézout in un dominio ad ideali principali. Ideali primi e massimali, elementi primi ed irriducibili: definizione e caratterizzazione, relazione tra le nozioni, in generale ed in particolari classi di anelli commutativi unitari, esempi e controesempi.

Domini a fattorizzazione unica: definizione, esempi notevoli, proprietà.

Teoria dei campi

Caratteristica e sottocampo fondamentale di un campo.

Estensioni di campi, grado dell’estensione, proprietà di moltiplicazione dei gradi per le estensioni successive. Estensioni semplici. Estensioni finite e loro basi. Elementi algebrici e trascendenti. Estensioni algebriche e trascendenti. Transitività delle estensioni algebriche. Omomorfismo di valutazione in un elemento algebrico o trascendente. Il polinomio minimo di un elemento algebrico: definizione e caratterizzazioni, grado, radici coniugate.

Chiusura algebrica di un campo in una sua estensione. Campi algebricamente chiusi.

Campi di spezzamento: definizione, teorema di esistenza, unicità a meno di isomorfismo.

Campi finiti: caratterizzazione dei loro ordini, esistenza ed unicità a meno di isomorfismo del campo finito di un certo ordine fissato, ciclicità del gruppo moltiplicativo, automorfismo di Frobenius.

Campo dei quozienti di un anello di integrità: definizione ed esempi.

Il corpo dei quaternioni: definizione, operazioni, quaternioni coniugati, norma, formula dell’inverso, rappresentazione matriciale, Teorema di Frobenius.

Testi consigliati

S. Franciosi, F. de Giovanni, Elementi di Algebra, Aracne, Roma, 1992.

I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti, Roma, 1994.

G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra: un approccio algoritmico, Decibel-Zanichelli, Bologna, 2001.

Dispense

Le dispense complete del corso sono disponibili in formato HTML all’indirizzo:

http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete/indice_dispense.htm