Equazioni e sistemi di equazioni

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Si possono risolvere le equazioni nell'insieme dei numeri complessi. Ecco alcuni esempi.

 

Esempio 8   Risolvere la seguente equazione:
$\displaystyle 2{\mathbf i}x
+2=3-{\mathbf i}.$
Si ha
$\displaystyle 2{\mathbf i}x= 1-{\mathbf i}$
e quindi
$\displaystyle x={\frac{1-{\mathbf i}}{2{\mathbf i}}}= -{\frac{1}{2}}-{\frac{1}{2}}{\mathbf i}.
$
 
Esempio 9   Risolvere la seguente equazione:
$\displaystyle (1-{\mathbf i}) x
+2{\mathbf i}=4+3{\mathbf i}.$
Si ha
$\displaystyle (1-{\mathbf i}) x= 4+{\mathbf i}$
e quindi
$\displaystyle x={\frac{4+{\mathbf i}}{1-{\mathbf i}}}=
{\frac{3}{2}}+{\frac{5}{2}}{\mathbf i}
.
$

 

Osservazione 3   Sia $ r$ un numero reale non nullo. Allora esistono esattamente due numeri complessi $ z_1,z_2$ tale che $ z_1^2=z_2^2=r$

 

Infatti, se r è positivo allora si pone $ z_1=\sqrt r$ e $ z_2=-\sqrt r$. Se $ r$ è negativo allora si pone $ z_1={\mathbf i}\sqrt{\vert r\vert}$ e $ z_2=-{\mathbf i}\sqrt{\vert r\vert}$. È facilmente verificabile che anche in questo caso $ z_1^2=z_2^2=r$. La dimostrazione della unicità e della esistenza delle radici $ z_1,z_2$ ha bisogno come presupposto del Teorema di Ruffini.

 

Esempio 10   Trovare le radici quadrate dei numeri:
$\displaystyle 5 , 25, -25, -16, -8.$
Le radici di 5 sono $ \sqrt 5$ e $ -\sqrt5$
Le radici di 25 sono $ 5$ e $ -5$
Le radici di -25 sono $ 5{\mathbf i}$ e $ -5{\mathbf i}$
Le radici di -16 sono $ 4{\mathbf i}$ e $ -4{\mathbf i}$
Le radici di -8 sono $ 2\sqrt2{\mathbf i}$ e $ -2\sqrt2{\mathbf i}$

 

Avendo a disposizione le radici dei numeri reali positivi e negativi si può risolvere qualsiasi equazione di secondo grado a coefficienti reali.

 

Esempio 11   Trovare le soluzioni complesse dell'equazione:
$\displaystyle x^2+x+1=0.$
Poiché $ \Delta=-3$ è negativo allora le radici di $ \Delta$ sono $ \sqrt3{\mathbf i}$ e $ -\sqrt3{\mathbf i}$. Quindi le soluzioni sono le seguenti:
$\displaystyle z_1={\frac{-1+\sqrt3{\mathbf i}}{2}}, \ \ \
z_1={\frac{-1+\sqrt3{\mathbf i}}{2}}.$

 

Si possono anche risolvere i sistemi di equazioni con coefficienti nei numeri complessi. Ecco qualche esempio.

 

Esempio 12   Risolvere il seguente sistema di equazioni
\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
2{\mathbf i}x-4y=0
\\
x+{\mathbf i}y=2-{\mathbf i}
\end{array}\right.\end{displaymath}     (8)

Trasformando la prima equazione otteniamo
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
y={\frac{1}{2}}{\mathbf i}x
\\
x+{\mathbf i}y=2-{\mathbf i}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
e quindi sostituendo $ y$ nella seconda equazione otteniamo
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
y={\frac{1}{2}}{\mathbf i}x
\\ ...
...frac{1}{2}}{\mathbf i}x) =2-{\mathbf i}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
Risolvendo la seconda equazione rispetto ad $ x$ otteniamo
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
y={\frac{1}{2}}{\mathbf i}x
\\ ...
...thbf i}}{{\frac{1}{2}}}}=4-2{\mathbf i}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
e quindi le soluzioni del sistema (8) sono i seguenti numeri complessi: 
$\displaystyle x=4-2{\mathbf i}, \ \ \
y=1+2{\mathbf i}
$

 

Probabilmente la principale proprietà dei numeri complessi che li rende così utili in matematica è il seguente famoso teorema.

Teorema Fondamentale dell'Algebra Sia $ p(x)$ un polinomio a coefficienti complessi di grado maggiore o uguale a uno. Allora esiste un numero complesso $ z$ tale che $ p(z)=0$.

In seguito si userà l'abbreviazione (TFA) per il Teorema Fondamentale dell'Algebra.